Lineare Abbildung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:59 Di 01.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 7. Sei [mm] $A=\vektor{ \frac{3}{5} & \frac{-4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5}}$, [/mm] sei [mm] $f=\phi(A)$ [/mm] die zugehörige lineare Abbildung [mm] $\IR^{2} \rightarrow \IR^{2}$, [/mm] und sei [mm] $S=\{(x,y) \in \IR^{2}; x^{2}+y^{2}\le 1\}$. [/mm]
a) Zeige, dass $f(S) [mm] \subseteq [/mm] S$.
b) Zeige, dass $f(S)=S$. |
Hallo,
a) hier ist [mm] $f(S)\subseteq [/mm] S$ zu zeigen:
$(x,y) [mm] \in [/mm] f(S) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x,y) [mm] \in f^{-1}(S)$ [/mm]
fertig?
wohl eher nicht ...
und bei b) auch noch die Rückrichtung:
[mm] $f(S)\subseteq [/mm] S [mm] \wedge [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] f(S) [mm] \gdw [/mm] f(S)=S$
also noch zu zeigen wenn a) stimmt:
$(x,y) [mm] \in [/mm] S [mm] \Rightarrow [/mm] f(x,y) [mm] \in [/mm] f(S)$
Reicht das bereits als Lésung?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:05 Di 01.03.2011 | | Autor: | Walde |
Hi kushkush,
ich hab erstmal die a) durchgelesen und muss zugeben, dass ich mir grad nicht den Kopf machen kann, ob das was du schreibst so richtig ist. Dass deine Folgerungspfeilen stimmen, seh ich irgendwie nicht so schnell. Kann aber auch an der Uhrzeit liegen.
Zumindest hast du es so formuliert, dass ich es um die Uhrzeit nicht leicht verstehen kann, also bin ich zu müde oder du nicht ausführlich genug :)
Ich kann dir aber eine Alternative anbieten: S ist ja die abgeschlossene Einheitskreisscheibe. Du musst nur zeigen, dass für [mm] s\in [/mm] S [mm] ||f(s)||_2\le [/mm] 1. In Worten: Die Norm jedes beliebigen Bildvektors (eines Vektors s aus S) ist kleinergleich 1 und er liegt somit wieder in der Einheitskreisscheibe. Das geht total leicht. Dann hat man [mm] $f:S\to f(S)\subseteq [/mm] S$.
Für die b) müsste man zeigen, dass [mm] $f:S\to [/mm] S$ surjektiv auf S ist. Dann hat man es doch. Man gibt ein beliebiges s [mm] \in [/mm] S vor und zeigt, dass es ein Urbild (unter f) wieder in S hat.(Wieder über die Norm) (Das geht leicht (hoff ich mal, habs nicht gemacht), wenn man die Inverse von f ausrechnet).
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 01.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Walde,
< zeigen, dass für
a)
$s [mm] \in [/mm] S [mm] \wedge [/mm] ||s|| [mm] \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] ||f(s)|| = [mm] ||\phi(As) [/mm] ||$ und weil $||A||<1$
[mm] $\Rightarrow ||\phi(As)||\le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] || f(S)|| [mm] \le [/mm] 1$
b)
$f(s) [mm] \in [/mm] f(S) [mm] \wedge ||f(s)||_{2}\le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] s [mm] \in [/mm] S [mm] \wedge [/mm] ||s|| [mm] \le [/mm] 1$
Ist das richtig?
< LG walde
Danke dir!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:17 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Walde |
Hi kushkush,
> Hallo Walde,
>
>
> < zeigen, dass für
>
> a)
>
> [mm]s \in S \wedge ||s|| \le 1 \Rightarrow ||f(s)|| = ||\phi(As) ||[/mm]
> und weil [mm]\red{||A||<1}[/mm]
1.Frage: Welche Matrixnorm nimmst du hier?(Ich nehme an die Spektralnorm? (Falls nicht: Ist die auch mit der euklidischen Norm verträglich?Im Falle der Spektralnorm ist das nämlich so.)
2.Frage: Du schreibst zwar hin $||A||<1$, aber richtig gezeigt hast du das nicht. (Im Falle der Spektralnorm kommt übrigens genau 1) raus. Das würde schon noch fehlen.
>
> [mm]\Rightarrow ||\phi(As)||\le 1 \Rightarrow || f(S)|| \le 1[/mm]
>
Wenn Punkt 1 und 2 geklärt sind, dann würde durch [mm] ||As||_2\le||A||*||s||_2 [/mm] Teil a) folgen.
Ich hätte einfach für [mm] s:=\vektor{x \\ y}\in [/mm] S
[mm] As=\pmat{\bruch{3}{5} & \bruch{-4}{5} \\ \bruch{4}{5} & \bruch{3}{5} }\vektor{x \\ y }=\bruch{1}{5}\vektor{3x-4y \\4x+3y }
[/mm]
und dann davon einfach mal die Norm ausgerechnet.
>
> b)
> [mm]\green{f(s) \in f(S)} \wedge \blue{||f(s)||_{2}\le 1} \Rightarrow \green{s \in S} \wedge ||s|| \le 1[/mm]
>
>
> Ist das richtig?
Nee, das scheint mir keinen Sinn zu machen. Das grüne links gilt doch nur, wenn das rechte eh schon gilt, der Folgepfeil gilt da also umgekehrt. Und dass [mm] $||s||\le [/mm] 1$, ist dann auch klar. Das blaue folgt aus Teil a) das stimmt. Aber man hat da keine neue Erkenntnis gewonnen.
Ich erläutere nochmal den Gedankengang von meinem ersten Post. Man hat in Teil a) gezeigt, dass Bilder von Elementen aus S wieder in S landen. Man will aber jetzt noch zeigen, dass das Bild von S auch wirklich ganz S ist. Das ist dann nicht der Fall, wenn es zu einem Element aus S kein Urbild in S gibt. Da bildet man einfach die Inverse von A (das geht, weil man leicht sieht, dass [mm] $detA\not= [/mm] 0$), kuckt sich das Urbild eines beliebigen Elements aus S an, und sieht(wenn man wieder die Norm ausgerechnet hat), dass es wieder in S liegt.
Alternative:
Wenn man weiss, dass orthogonale Matrizen mit Determinante 1 ![[]](/images/popup.gif) Drehungen sind, kann man dies von A zeigen (ist ganz leicht) und dann sind a) und b) sofort klar.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 02.03.2011 | | Autor: | kushkush |
> Hi kushkush,
> > Hallo Walde,
> >
> >
> > < zeigen, dass für
> >
> > a)
> >
> > [mm]s \in S \wedge ||s|| \le 1 \Rightarrow ||f(s)|| = ||\phi(As) ||[/mm]
> > und weil [mm]\red{||A||<1}[/mm]
>
> 1.Frage: Welche Matrixnorm nimmst du hier?(Ich nehme an die
> Spektralnorm? (Falls nicht: Ist die auch mit der
> euklidischen Norm verträglich?Im Falle der Spektralnorm
> ist das nämlich so.)
Das mit den Normen ist für mich neu. Du schreibst, dass man die Spetralnorm nehmen soll, weil man dann auch mit Vektornormen verträglich ist??
> 2.Frage: Du schreibst zwar hin [mm]||A||<1[/mm], aber richtig
> gezeigt hast du das nicht. (Im Falle der Spektralnorm kommt
> übrigens genau 1) raus. Das würde schon noch fehlen.
>
> >
> > [mm]\Rightarrow ||\phi(As)||\le 1 \Rightarrow || f(S)|| \le 1[/mm]
>
> >
>
> Wenn Punkt 1 und 2 geklärt sind, dann würde durch
> [mm]||As||_2\le||A||*||s||_2[/mm] Teil a) folgen.
>
> Ich hätte einfach für [mm]s:=\vektor{x \\ y}\in[/mm] S
>
> [mm]As=\pmat{\bruch{3}{5} & \bruch{-4}{5} \\ \bruch{4}{5} & \bruch{3}{5} }\vektor{x \\ y }=\bruch{1}{5}\vektor{3x-4y \\4x+3y }[/mm]
>
> und dann davon einfach mal die Norm ausgerechnet.
>
die Norm von [mm] $\frac{1}{5}\vektor{3x-4y\\ 4x+3y}$ [/mm] beträgt : [mm] $\sqrt{|x|^{2}+|y|^{2}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |x|^{2}+|y|^{2}\le [/mm] 1 $
>
> >
> > b)
> > [mm]\green{f(s) \in f(S)} \wedge \blue{||f(s)||_{2}\le 1} \Rightarrow \green{s \in S} \wedge ||s|| \le 1[/mm]
>
> >
> >
> > Ist das richtig?
>
> Nee, das scheint mir keinen Sinn zu machen. Das grüne
> links gilt doch nur, wenn das rechte eh schon gilt, der
> Folgepfeil gilt da also umgekehrt. Und dass [mm]||s||\le 1[/mm], ist
> dann auch klar. Das blaue folgt aus Teil a) das stimmt.
> Aber man hat da keine neue Erkenntnis gewonnen.
>
>
>
> Ich erläutere nochmal den Gedankengang von meinem ersten
> Post. Man hat in Teil a) gezeigt, dass Bilder von Elementen
> aus S wieder in S landen. Man will aber jetzt noch zeigen,
> dass das Bild von S auch wirklich ganz S ist. Das ist dann
> nicht der Fall, wenn es zu einem Element aus S kein Urbild
> in S gibt. Da bildet man einfach die Inverse von A (das
> geht, weil man leicht sieht, dass [mm]detA\not= 0[/mm]), kuckt sich
> das Urbild eines beliebigen Elements aus S an, und
> sieht(wenn man wieder die Norm ausgerechnet hat), dass es
> wieder in S liegt.
>
[mm] $A^{-1}=\vektor{0.6 & 0.8 \\ -0.8 & 0.6}$
[/mm]
dann [mm] $A^{-1}s=....$ [/mm]
Norm [mm] $A^{1}s [/mm] und dann fertig?=
> Alternative:
>
> Wenn man weiss, dass orthogonale Matrizen mit Determinante
> 1 Drehungen sind,
> kann man dies von A zeigen (ist ganz leicht) und dann sind
> a) und b) sofort klar.
Determinante ausrechnen reicht ja nicht, sondern es müssen auch die Längen erhalten bleiben, also wieder die Norm ausrechnen und die muss gleich sein?
>
> LG walde
Danke !!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Walde |
Hi,
> Das mit den Normen ist für mich neu. Du schreibst, dass
> man die Spetralnorm nehmen soll, weil man dann auch mit
> Vektornormen verträglich ist??
Genau. Wenn ihr das nicht hattet, darfst du es wohl auch nicht benutzen.Kannst ja mal im Wiki Artikel nachlesen.Matrixnormen
>
> > 2.Frage: Du schreibst zwar hin [mm]||A||<1[/mm], aber richtig
> > gezeigt hast du das nicht. (Im Falle der Spektralnorm kommt
> > übrigens genau 1) raus. Das würde schon noch fehlen.
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow ||\phi(As)||\le 1 \Rightarrow || f(S)|| \le 1[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Wenn Punkt 1 und 2 geklärt sind, dann würde durch
> > [mm]||As||_2\le||A||*||s||_2[/mm] Teil a) folgen.
> >
> > Ich hätte einfach für [mm]s:=\vektor{x \\ y}\in[/mm] S
> >
> > [mm]As=\pmat{\bruch{3}{5} & \bruch{-4}{5} \\ \bruch{4}{5} & \bruch{3}{5} }\vektor{x \\ y }=\bruch{1}{5}\vektor{3x-4y \\4x+3y }[/mm]
>
> >
> > und dann davon einfach mal die Norm ausgerechnet.
> >
>
> die Norm von [mm]\frac{1}{5}\vektor{3x-4y\\ 4x+3y}[/mm] beträgt :
> [mm]\sqrt{|x|^{2}+|y|^{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |x|^{2}+|y|^{2}\le 1[/mm]
Genau, also wieder in S.
>
> >
> > >
> > > b)
> > > [mm]\green{f(s) \in f(S)} \wedge \blue{||f(s)||_{2}\le 1} \Rightarrow \green{s \in S} \wedge ||s|| \le 1[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Ist das richtig?
> >
> > Nee, das scheint mir keinen Sinn zu machen. Das grüne
> > links gilt doch nur, wenn das rechte eh schon gilt, der
> > Folgepfeil gilt da also umgekehrt. Und dass [mm]||s||\le 1[/mm], ist
> > dann auch klar. Das blaue folgt aus Teil a) das stimmt.
> > Aber man hat da keine neue Erkenntnis gewonnen.
> >
> >
> >
> > Ich erläutere nochmal den Gedankengang von meinem ersten
> > Post. Man hat in Teil a) gezeigt, dass Bilder von Elementen
> > aus S wieder in S landen. Man will aber jetzt noch zeigen,
> > dass das Bild von S auch wirklich ganz S ist. Das ist dann
> > nicht der Fall, wenn es zu einem Element aus S kein Urbild
> > in S gibt. Da bildet man einfach die Inverse von A (das
> > geht, weil man leicht sieht, dass [mm]detA\not= 0[/mm]), kuckt sich
> > das Urbild eines beliebigen Elements aus S an, und
> > sieht(wenn man wieder die Norm ausgerechnet hat), dass es
> > wieder in S liegt.
> >
>
> [mm]A^{-1}=\vektor{0.6 & 0.8 \\ -0.8 & 0.6}[/mm]
>
> dann [mm]A^{-1}s=....[/mm]
>
> Norm [mm]$A^{1}s[/mm] und dann fertig?=
Eija. Dann hast du zu jedem Element ein Urbild,das auch in S liegt.
> > Alternative:
> >
> > Wenn man weiss, dass orthogonale Matrizen mit Determinante
> > 1 Drehungen sind,
> > kann man dies von A zeigen (ist ganz leicht) und dann sind
> > a) und b) sofort klar.
>
> Determinante ausrechnen reicht ja nicht, sondern es müssen
> auch die Längen erhalten bleiben, also wieder die Norm
> ausrechnen und die muss gleich sein?
Ja, dass die Längen gleichbleiben, dafür ist die Orthogonalität zuständig, hab ich aber auch erwähnt, dass man die Orthogonalität von A zeigen muss. Drehmatrix.
(Hättst ja auch mal selbst googlen können  )
> Danke !!!
>
Gern geschehn.
LG walde
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> 7. Sei [mm]A=\vektor{ \frac{3}{5} & \frac{-4}{5} \\
\frac{4}{5} & \frac{3}{5}}[/mm],
> sei [mm]f=\phi(A)[/mm] die zugehörige lineare Abbildung [mm]\IR^{2} \rightarrow \IR^{2}[/mm],
> und sei [mm]S=\{(x,y) \in \IR^{2}; x^{2}+y^{2}\le 1\}[/mm].
>
> a) Zeige, dass [mm]f(S) \subseteq S[/mm].
>
> b) Zeige, dass [mm]f(S)=S[/mm].
> Hallo,
>
> a) hier ist [mm]f(S)\subseteq S[/mm] zu zeigen:
>
> [mm](x,y) \in f(S) \Rightarrow f(x,y) \in f^{-1}(S)[/mm]
>
> fertig?
>
> wohl eher nicht ...
Hallo,
das siehst Du richtig.
Es wurde gar nichts gezeigt, sondern nur etwas behauptet.
Die Folgerung ist für mich nicht nachvollziehbar, ebenso sehe ich nicht, wie sich daraus die zu zeigende Behauptung zwanglos ergeben sollte.
Gewöhne Dir an, jeden Schritt mit einer begründung zu versehen.
So merkst Du selbst, wenn Deine Argumentation dünn ist - und wenn sie nicht dünn ist, überzeugst Du natürlich durch Argumente besser als durchs Aufstellen von Behauptungen.
>
>
> und bei b) auch noch die Rückrichtung:
>
> [mm]f(S)\subseteq S \wedge S \subseteq f(S) \gdw f(S)=S[/mm]
>
> also noch zu zeigen wenn a) stimmt:
>
> [mm](x,y) \in S \Rightarrow f(x,y) \in f(S)[/mm]
>
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>
> Reicht das bereits als Lésung?
Nein. Du hast lediglich hingeschrieben, was noch zu zeigen ist.
Zur Vorgehensweise hat Walde Dir ja schon etwas gesagt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> 7. Sei [mm]A=\vektor{ \frac{3}{5} & \frac{-4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5}}[/mm],
> sei [mm]f=\phi(A)[/mm] die zugehörige lineare Abbildung [mm]\IR^{2} \rightarrow \IR^{2}[/mm],
> und sei [mm]S=\{(x,y) \in \IR^{2}; x^{2}+y^{2}\le 1\}[/mm].
>
> a) Zeige, dass [mm]f(S) \subseteq S[/mm].
>
> b) Zeige, dass [mm]f(S)=S[/mm].
> Hallo,
>
> a) hier ist [mm]f(S)\subseteq S[/mm] zu zeigen:
>
> [mm](x,y) \in f(S) \Rightarrow f(x,y) \in f^{-1}(S)[/mm]
>
> fertig?
>
> wohl eher nicht ...
>
>
> und bei b) auch noch die Rückrichtung:
>
> [mm]f(S)\subseteq S \wedge S \subseteq f(S) \gdw f(S)=S[/mm]
>
> also noch zu zeigen wenn a) stimmt:
>
> [mm](x,y) \in S \Rightarrow f(x,y) \in f(S)[/mm]
>
>
>
> Reicht das bereits als Lésung?
Mann, mann , mann !!! Dass das keine Lösung sein kann, muß Dir doch selbst auffallen, denn Du hast weder die speziellen Eigenschaften der Abb. f noch die Eigenschaften von S benutzt !!
Wenn Du Dir ein Schnitzel braten willst, aber kein Fleisch verwendest, hast Du halt nun mal kein Schnitzel !
FRED
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
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> kushkush
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