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Lineare Abbildung: Kern, Bild, Linear ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Mo 01.12.2008
Autor: KGB-Spion

Aufgabe
Gegeben sei die folgende Abbildung :

D : C^( [mm] \infty [/mm] ) ( R ) --> C^( [mm] \infty [/mm] ) ( R )

D(f) = f" + f

a) Überprüfen Sie, ob D eine lineare Abbildung ist.

b) Bestimmen Sie Kern und Bild von D

Liebe Forumuser,

ich bins mal wieder :-)

Ich habe da diese Aufgabe und habe bereits die 2 Kapitel ausm "Torsten Volland - Lineare Algebra fürs erste Semester" durchgelesen (na gut - so schwer wars nun wirklich nicht - bin ja nicht mehr Ersti).

Aber wenn ichc mir nun diese Aufgabe anschaue, so habe ich den Eindruck, dass es nirgendwo richtig erklärt wird :-(  

Also ==> Wenn's Fragen gibt - gleich ins beste Forum der Welt :-)


Nun mein Lösungsvorschlag zu a) ==> Kann ich nicht einfach hinschreiben, dass es sehr wohl eine Lineare Abbildung ist, da die Ableitung ebenfalls linear verläuft ?

Ich könnte es doch damit begründen, dass jede n-te Lösung einer DGL (beliebiger Ordnung) sich als eine Linearkombination der vorherigen Lösungen darstellen lässt. ODER ?

Ich kann ja nicht die üblichen Kriterien für lineare Abbildungen anwenden - gell ? (da ich nicht die Funktion kenne oder ?)

Zu b) Fällt mir bisher nichts ein. Wie soll ich daraus ne Matrix bilden, wo ich doch nichts über f weiß. Oder gibt es da noch andere Bestimmungsmöglichkeiten ?

Wie auch immer - beste Dezembergrüße und frohe Adventtage,

euer KGB-Spion

        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Mo 01.12.2008
Autor: fred97


> Gegeben sei die folgende Abbildung :
>
> D : C^( [mm]\infty[/mm] ) ( R ) --> C^( [mm]\infty[/mm] ) ( R )
>  
> D(f) = f" + f
>  
> a) Überprüfen Sie, ob D eine lineare Abbildung ist.
>
> b) Bestimmen Sie Kern und Bild von D
>  Liebe Forumuser,
>  
> ich bins mal wieder :-)
>
> Ich habe da diese Aufgabe und habe bereits die 2 Kapitel
> ausm "Torsten Volland - Lineare Algebra fürs erste
> Semester" durchgelesen (na gut - so schwer wars nun
> wirklich nicht - bin ja nicht mehr Ersti).
>
> Aber wenn ichc mir nun diese Aufgabe anschaue, so habe ich
> den Eindruck, dass es nirgendwo richtig erklärt wird :-(  
>
> Also ==> Wenn's Fragen gibt - gleich ins beste Forum der
> Welt :-)
>
>
> Nun mein Lösungsvorschlag zu a) ==> Kann ich nicht einfach
> hinschreiben, dass es sehr wohl eine Lineare Abbildung ist,
> da die Ableitung ebenfalls linear verläuft ?

So ist es.


>
> Ich könnte es doch damit begründen, dass jede n-te Lösung
> einer DGL (beliebiger Ordnung) sich als eine
> Linearkombination der vorherigen Lösungen darstellen lässt.
> ODER ?

Hä, was soll eine n-te Lösung sein ?


>
> Ich kann ja nicht die üblichen Kriterien für lineare
> Abbildungen anwenden - gell ? (da ich nicht die Funktion
> kenne oder ?)


Doch, Du hast es oben doch schon gesagt:

D(f+g) = (f+g)" + f +g = f'' +g''+f+g = (f''+f)+(g''+g) = D(f) +D(g)

Mit D [mm] (\lambda [/mm] f) vrefährst Du genauso


>
> Zu b) Fällt mir bisher nichts ein. Wie soll ich daraus ne
> Matrix bilden, wo ich doch nichts über f weiß. Oder gibt es
> da noch andere Bestimmungsmöglichkeiten ?

Zu Kern(D): f [mm] \in [/mm] Kern(D) [mm] \gdw [/mm] f''+f = 0. Dh. die Elemente des Kerns sind genau die Lösungen der DGL f''+f = 0


>
> Wie auch immer - beste Dezembergrüße und frohe Adventtage,

Glleichfalls FRED



>
> euer KGB-Spion


Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 Mo 01.12.2008
Autor: KGB-Spion

Dankeschööön :-)



Bezug
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