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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 So 20.01.2008 | | Autor: | Accid |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
OK:
a) Beweis für: f ist linear (also homomorph):
Bedingungen:
1) f(x+y)=f(x)+f(y)
2) [mm] f(\lambda x)=\lambda [/mm] f(x)
zu 1)
[mm] A\cdot (X+Y)-(X+Y)\cdot A=(A\cdot X-X\cdot A)+(A\cdot Y-Y\cdot [/mm] A) [mm] \\
[/mm]
[mm] A\cdot (X+Y)-(X+Y)\cdot A=A\cdot X-X\cdot A+A\cdot Y-Y\cdot [/mm] A [mm] \\
[/mm]
[mm] A\cdot (X+Y)-(X+Y)\cdot A=A\cdot X+A\cdot Y-X\cdot A-Y\cdot [/mm] A [mm] \\
[/mm]
[mm] A\cdot (X+Y)-(X+Y)\cdot A=A\cdot (X+Y)-(X+Y)\cdot [/mm] A
Bedingung erfüllt!
zu 2)
[mm] A\cdot (\lambda X)-(\lambda X)\cdot A=\lambda\cdot (A\cdot X-X\cdot [/mm] A) [mm] \\
[/mm]
[mm] A\cdot \lambda X-\lambda X\cdot A=\lambda\cdot (A\cdot X-X\cdot [/mm] A) [mm] \\
[/mm]
[mm] \lambda\cdot (A\cdot X-X\cdot A)=\lambda\cdot (A\cdot X-X\cdot [/mm] A)
Bedingung erfüllt!
Linearität bewiesen...
b) Hier hab ich jetzt ein paar kleine Probleme... ich komme auf die Matrix:
[mm] M_f(E(2,2), E(2,2))=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
das kommt mir aber ein bisschen zu einfach vor...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> OK:
>
> a) Beweis für: f ist linear (also homomorph):
>
> Bedingungen:
> 1) f(x+y)=f(x)+f(y)
> 2) [mm]f(\lambda x)=\lambda[/mm] f(x)
>
> zu 1)
> [mm]A\cdot (X+Y)-(X+Y)\cdot A=(A\cdot X-X\cdot A)+(A\cdot Y-Y\cdot[/mm]
> A) [mm]\\[/mm]
> [mm]A\cdot (X+Y)-(X+Y)\cdot A=A\cdot X-X\cdot A+A\cdot Y-Y\cdot[/mm]
> A [mm]\\[/mm]
> [mm]A\cdot (X+Y)-(X+Y)\cdot A=A\cdot X+A\cdot Y-X\cdot A-Y\cdot[/mm]
> A [mm]\\[/mm]
> [mm]A\cdot (X+Y)-(X+Y)\cdot A=A\cdot (X+Y)-(X+Y)\cdot[/mm] A
> Bedingung erfüllt!
>
> zu 2)
> [mm]A\cdot (\lambda X)-(\lambda X)\cdot A=\lambda\cdot (A\cdot X-X\cdot[/mm]
> A) [mm]\\[/mm]
> [mm]A\cdot \lambda X-\lambda X\cdot A=\lambda\cdot (A\cdot X-X\cdot[/mm]
> A) [mm]\\[/mm]
> [mm]\lambda\cdot (A\cdot X-X\cdot A)=\lambda\cdot (A\cdot X-X\cdot[/mm]
> A)
> Bedingung erfüllt!
>
> Linearität bewiesen...
Hallo,
ich nehme an, daß Du das für die Abgabe noch schön aufschreibst, Äquivalenzpfeile setzt und jeweils Begründungen für Dein Tun angibst.
In der Drübersicht sieht es mir jedenfalls richtig aus.
>
> b) Hier hab ich jetzt ein paar kleine Probleme... ich komme
> auf die Matrix:
>
> [mm]M_f(E(2,2), E(2,2))=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> das kommt mir aber ein bisschen zu einfach vor...
Tja, ist fürchte, das ist nicht nur einfach, sondern falsch.
Sag erstmal das Sprüchlein auf, was in die Spalten der Darstellenden Matrix kommt.
Hast Du's? Die Bilder der Basisvektoren in Koordinaten bzgl. der vorgegebenen Basis.
Die Basisvektoren sind ja sogar angegeben.
(Achtung: der Vektorraum besteht aus Matrizen, unsere Vektoren sind also Matrizen. Die Koordinatenvektoren allerdings nicht.)
Schreib jetzt erstmal die Bilder dr basisvektoren hin, oder meinetwegen das des ersten.
Stell es als Linearkombination der Basisvektoren dar und dann als Koordinatenvektor bzgl dieser Basis.
Vielleicht kommst Du so schon zum Ziel.
Gruß v. Angela
>
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 20.01.2008 | | Autor: | Accid |
ok.. die Matrizen hatten mich verwirrt und natürlich schreib ich die a noch besser auf :)
zu b)
Die Bilder sind ja:
[mm] f(\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] f(\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] f(\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] f(\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
Folglich wäre dann:
[mm] M_f(E(2,2),E(2,2))=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
richtig?
falls ja, wie finde ich dann die Basis von ker f bzw, im f ?
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> zu b)
>
> Die Bilder sind ja:
>
> [mm]f(\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]f(\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]f(\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]f(\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Folglich wäre dann:
>
> [mm]M_f(E(2,2),E(2,2))=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> richtig?
Fast. Ein Tippfehler in der letzten Spalte.
>
> falls ja, wie finde ich dann die Basis von ker f bzw, im f
Haargenauso wie immer bei Matrizen. Du mußt nur bedenken, daß das, was herauskommt, Koordinatenvektoren bzgl der kanonischen Basis des Matrizenraumes sind.
Versuch's mal!
Achso: das geht natürlich auch mehr zu Fuß:
Im Kern sind alle Matrizen X, für welche f(X)= Nullmatrix gilt,
und wenn Du Dir anschaust, welche Gestalt die Matrizen f(X) haben, wirst Du auch ein Erzeugendensystem des Bildes sehen, woraus Du eine Basis gewinnen kannst - wenn's noch keine ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 20.01.2008 | | Autor: | Accid |
Richtig, war ein Tippfehler. Sollte eigentlich +1 statt -1 heißen...
Wenn man f(X) anschaut, dann sieht man eigentlich schnell, dass f(X)=Nullmatrix nur dann ist, wenn A=X ist. Somit ist die einzige Matrix im Kern, [mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Somit wäre eine Basis des Kerns also ker [mm] f=<\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}>
[/mm]
(der Nullvektor kann hier doch weggelassen werden, oder?)
richtig?
Eine Basis des Bildes wäre dann folglich:
im [mm] f=<\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}>
[/mm]
(wieder könnte man den Nullvektor weglassen)
richtig?
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> Wenn man f(X) anschaut, dann sieht man eigentlich schnell,
> dass f(X)=Nullmatrix nur dann ist, wenn A=X ist. Somit ist
> die einzige Matrix im Kern, [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
ich glaube, Du hast zu schnell geguckt.
Und selbst, wenn Du richtig geguckt hättest, dann wäre das nicht die einzige, sondern alle Vielfachen von dieser auch. (Der Kern v. Homomorphismen ist ja ein Vektorraum).
Rechne f(X) mal für eine beliebige Matrix aus und schau, für welche Einträge das =Nullmatrix ist.
>
> Somit wäre eine Basis des Kerns also ker [mm]f=<\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}>[/mm]
Nein. Du darfst nicht die Nerven verlieren jetzt.
Obgleich es nicht stimmt, gucken wir mal, was wäre, wenn im Kern nur die Vielfachen von [mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] wären.
Dann wäre( [mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] ) eine Basis unseres Kerns - oder, wenn wir das als Koordinatenvektor bzgl. E(2,2) schreiben wollten, [mm] (\vektor{0 \\ 1\\0\\0}_{E(2,2)})
[/mm]
Wenn Du bei solchen Aufgaben mit Koordinatenvektoren hantierst, häng' immer unten die Basis an, damit es nicht zum Mißverständnis mit Korrektoren kommt.
> (der Nullvektor kann hier doch weggelassen werden, oder?)
Wenn es richtig gewesen wäre, was dort stand, könnte der Nullvektor weggelassen werden.
>
> Eine Basis des Bildes wäre dann folglich:
>
> im [mm]f=<\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}>[/mm]
Was Du hier angibst, ist keine Basis, sondern ein Erzeugendensystem, weil Du den Nullvektor mit drin hast. Warum hast Du dne eigentlich drin? Was hast Du Dir gedacht?
>
> (wieder könnte man den Nullvektor weglassen)
> richtig?
Wenn Du den wegläßt, hast Du eine Basis des Kerns - in Koordinaten bzgl E(2;2), das muß unbedingt kenntlich sein.
Da Du Dich im VR der Matrizen bewegst, besteht das Bild der Abbildung natürlich "in Wahrheit" aus Matrizen. Aus welchen?
Für die HÜ: unbedingt mit hinschreiben! (Man will nämlich wissen, ob Dir das klar ist...)
So. Spätestens an dieser Stelle hättest Du stutzig werden müssen:
Du hattest oben einen eindimensionalen Kern errechnet, unten ein zweidimensionales Bild.
Der Raum, aus dem heraus Du abbildest, der raum der 2x2-Matrizen, hat aber die Dimension 4.
Das paßt nicht zum Kern-Bild-Satz (auch: Dimensionssatz).
Gruß v. Angela
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 So 20.01.2008 | | Autor: | Accid |
Ok, jetzt bekomm ich echt langsam Kopfweh... aber hilft ja alles nix...
Wenn ich f(X) mal für ein beliebiges X ausrechne, bekomme ich folgendes:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \\
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
x_{21} & x_{22}-x_{11} \\
0 & -x_{21}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
das hilft mir aber irgendwie nicht weiter...
> Da Du Dich im VR der Matrizen bewegst, besteht das Bild der Abbildung natürlich "in Wahrheit" aus Matrizen. Aus welchen?
Die Matrizen des Bildes müssten doch dann eigentlich [mm] \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
und [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
sein...
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> Wenn ich f(X) mal für ein beliebiges X ausrechne, bekomme
> ich folgendes:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{pmatrix}[/mm]
> - [mm]\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \\[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
x_{21} & x_{22}-x_{11} \\
0 & -x_{21}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> das hilft mir aber irgendwie nicht weiter...
Hallo,
doch, das hilft.
Du weißt nun, daß Du jede Matrix des Bildes schreiben kannst als
[mm] x_{21}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} [/mm] + [mm] (x_{22}-x_{11})\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> > Da Du Dich im VR der Matrizen bewegst, besteht das Bild der
> Abbildung natürlich "in Wahrheit" aus Matrizen. Aus
> welchen?
>
>
> Die Matrizen des Bildes müssten doch dann eigentlich
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
> sein...
Achso, da hast Du's doch stehen!
Ist doch alles in bester Ordnung. (Ob Du das Eelemnt, welches rechts oben die 1 oder dasmit der -1 nimmst, ist egal).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 So 20.01.2008 | | Autor: | Accid |
ok, dann ist mir das einigermaßen klar...
aber: wenn dies die Basis vom Bild von f(X) ist, dann fehlt mir doch immer noch die Basis des Kerns, oder?
Der Kern ist ja, jede Matrix der Form:
ker f = [mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
0 & -a
\end{pmatrix}
[/mm]
hier würde sich doch aber die selbe Basis wie zum Bild ergeben. Heißt das Basis im f = Basis ker f?
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> ok, dann ist mir das einigermaßen klar...
>
> aber: wenn dies die Basis vom Bild von f(X) ist, dann fehlt
> mir doch immer noch die Basis des Kerns, oder?
>
> Der Kern ist ja, jede Matrix der Form:
>
> ker f = [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & -a
\end{pmatrix}[/mm]
>
> hier würde sich doch aber die selbe Basis wie zum Bild
> ergeben. Heißt das Basis im f = Basis ker f?
Achja, der Kern!
Du hattest oben in Deinem anderen Post stehen
$ [mm] \begin{pmatrix} x_{21} & x_{22}-x_{11} \\ 0 & -x_{21} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $
Daraus ergibt sich [mm] x_{21}=0, x_{22}=x_{11} [/mm] und [mm] x_{12} [/mm] beliebig,
also [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ 0 &a \end{pmatrix}, [/mm] also doch nur "fast" die von Dir errechnete Basis.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 So 20.01.2008 | | Autor: | Accid |
Ok, danke... dann hab ichs jetzt verstanden denke ich. Du warst dieses Wochende wirklich mein "Engel" wie dein Name ja schon sagt :)
Vielen Dank für deine Mühe...
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