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Lineare Abbildung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:05 Mi 28.12.2005
Autor:	Panda

Aufgabe

 Eine Abbildung sei gegeben durch die Matrix [mm] A=\pmat{1&2&0\\0&0&0\\0&0&1}.
 [/mm]

a) Bestimme für die Urbildvektoren [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\-1\\2} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \vektor{2\\1\\1} [/mm] die durch die von A beschriebene lineare Abbildung entstehenden Bildvektoren.

b) Bestimme [mm] A(\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y})
 [/mm]

c) Bestimme den Kern der durch A beschriebenen Abbildung.

d) Wie lautet die Lösungsmenge?

Guten Tag,

ich habe die Aufgabe soweit gelöst, nur bin ich mir mit den Lösungen nicht so ganz sicher. Wäre sehr nett, wenn jemand das überprüfen könnte! Vielen Dank!

Zu a: Es ergeben sich [mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3\\0\\2} [/mm] und [mm] A\vec{y} [/mm] = [mm] \vektor{4\\0\\1} [/mm]

Zu b: Es ergibt sich [mm] A(\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y}) [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\3} [/mm]

Zu c: Kern: K(A) = s * [mm] \vektor{-2\\1\\0} [/mm] . Der Kern ist eine Gerade.

Zu d: Lösungsmenge: [mm] \IL [/mm] = [mm] \{x|x = \vektor{1\\0\\3} + s * \vektor{-2\\1\\0} ; s \in \IR\} [/mm] . Die Lösungsmenge beschreibt ebenfalls eine Gerade.

MfG Panda

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Lineare Abbildung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:17 Mi 28.12.2005
Autor:	Julius

Hallo!

> Eine Abbildung sei gegeben durch die Matrix
> [mm]A=\pmat{1&2&0\\0&0&0\\0&0&1}.[/mm]
>
> a) Bestimme für die Urbildvektoren [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{-1\\-1\\2}[/mm] und [mm]\vec{y}[/mm] = [mm]\vektor{2\\1\\1}[/mm] die durch
> die von A beschriebene lineare Abbildung entstehenden
> Bildvektoren.
>
> b) Bestimme [mm]A(\vec{x}[/mm] + [mm]\vec{y})[/mm]
>
> c) Bestimme den Kern der durch A beschriebenen Abbildung.
>
> d) Wie lautet die Lösungsmenge?
> Guten Tag,
>
> ich habe die Aufgabe soweit gelöst, nur bin ich mir mit den
> Lösungen nicht so ganz sicher. Wäre sehr nett, wenn jemand
> das überprüfen könnte! Vielen Dank!
>
> Zu a: Es ergeben sich [mm]A\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-3\\0\\2}[/mm] und
> [mm]A\vec{y}[/mm] = [mm]\vektor{4\\0\\1}[/mm]

> Zu b: Es ergibt sich [mm]A(\vec{x}[/mm] + [mm]\vec{y})[/mm] =
> [mm]\vektor{1\\0\\3}[/mm]

Beachte: [mm] $A(\vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y}) [/mm] = [mm] A\vec{x} [/mm] + [mm] A\vec{y}$ [/mm]

> Zu c: Kern: K(A) = s * [mm]\vektor{-2\\1\\0}[/mm] . Der Kern ist
> eine Gerade.

Schreibe es besser exakter:

$K(A) = [mm] \left\{ s \cdot \vektor{-2\\1\\0}\, : \, s \in \IR \right\}$, [/mm]

so wie du es später selber machst. :-)

> Zu d: Lösungsmenge: [mm]\IL[/mm] = [mm]\{x|x = \vektor{1\\0\\3} + s * \vektor{-2\\1\\0} ; s \in \IR\}[/mm]
> . Die Lösungsmenge beschreibt ebenfalls eine Gerade.

Um die Lösungsmenge welcher Gleichung ging es hier?

Vielleicht um die Gleichung $A [mm] \vex{x} [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 3}$? [/mm]

Dann wäre alles richtig. :-)

Liebe Grüße
Julius