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Hallo mal wieder,
ich sitze erneut an einer Aufgabe, zu der mir nix mehr einfällt. Da ihr mir letztes Mal super geholfen habt, versuche ich mein Glück erneut:
Im Vektorraum $V$ über [mm] $\IR$ [/mm] sei [mm] $M=\{u_1, u_2, ..., u_n\}$ [/mm] eine Menge von linear unabhängigen Vektoren und [mm] $u=\sum_{i=1}^n(\alpha_iu_i) [/mm] $ mit [mm] $\alpha_i\in\IR$.
[/mm]
So viel zu den Voraussetzungen. Ich soll zeigen, dass eine Menge [mm] $N=\{u_1-u, u_2-u, ..., u_n-u\}$ [/mm] genau dann linear abhängig ist, wenn [mm] $\sum_{i=1}^n\alpha_i [/mm] = 1$
ist.
Kann mir bitte jemand beim Herangehen an die Aufgabe unter die Arme greifen? Ich sehe hier nicht einmal einen Ansatz :(
Mfg, Adrian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Adrian!
Zuerst die Rückrichtung: "<=="
Sei [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_{i}=1. [/mm] Dann ist mindestens ein [mm] \alpha_{j} [/mm] mit j [mm] \in [/mm] {1,...,n} ungleich 0 und damit ist
[mm] \alpha_{1}(u_{1} [/mm] - u) + ... + [mm] \alpha_{n}(u_{n} [/mm] - u)
eine nichttriviale Linearkombination, für die gilt:
= ( [mm] \alpha_{1}u_{1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n}u_{n}) [/mm] - ( [mm] \alpha_{1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n})*u
[/mm]
= u - 1*u = 0
Jetzt die Hinrichtung: "==>"
Seien [mm] \beta_{1},..., \beta_{n} [/mm] nichttriviale Koeffizienten mit:
[mm] \beta_{1}(u_{1} [/mm] - u) + ... + [mm] \beta_{n}(u_{n} [/mm] - u) = 0
Mit u = [mm] \alpha_{1}u_{1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n}u_{n} [/mm] und s:= [mm] \beta_{1} [/mm] + ... + [mm] \beta_{n} [/mm] erhalten wir
==> ( [mm] \beta_{1} [/mm] - [mm] \alpha_{1}*s)u_{1} [/mm] + ... + ( [mm] \beta_{n} [/mm] - [mm] \alpha_{n}*s)u_{n} [/mm] = 0
Die Koeffizienten vor den [mm] u_{i} [/mm] müssen alle 0 sein ("linear unabhängig"). Daher können wir sie alle zusammenaddieren und erhalten immer noch 0:
==> ( [mm] \beta_{1} [/mm] - [mm] \alpha_{1}*s) [/mm] + ... + ( [mm] \beta_{n} [/mm] - [mm] \alpha_{n}*s) [/mm] = 0
Nach Umsortieren:
==> ( [mm] \beta_{1} [/mm] + ... + [mm] \beta_{n}) [/mm] - ( [mm] \alpha_{1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n})*s [/mm] = 0
==> s - [mm] (\alpha_{1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n})s [/mm] = 0
Wenn s = 0 währe, dann folgt daraus (die letzte Formel, in denen die [mm] u_{i} [/mm] vorkommen), dass alle [mm] \beta_{i} [/mm] = 0, was unserer Annahme widerspricht. Also ist s [mm] \not= [/mm] 0 und daher:
[mm] (\alpha_{1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{n}) [/mm] = 1.
Gruß
Clemens
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