Linear abhängig < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 12.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen a,für die die Vektoren linear abhängig sind.
a) [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ a \\ 0}
[/mm]
b) [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ a} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ a \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{2a \\ 2 \\ -1} [/mm] |
Hallo^^
Ich hab versucht diese Aufgabe zu rechnen,aber ich komme nicht mehr weite,hoffe ihr könnt mir helfen.
a) Ich hab folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
1.) r+2s=0
2.) as=0
Bei der Lösung von bin ich mir jetzt nicht sicher,aber ich glaube,dass für a=0 der Vektor linear abhängig ist ???
b) Hier hab ich auch ein Gleichungssystem aufgestellt
1.) r+s+2at=0
2.) r+sa+2t=0
3.) ra-s-t=0
Das krieg aber irgendwie nicht aufgelöst,ich habs mit Einsetzungsverfahren versucht,aber da komm ich auf 0=0,was mir ja nichts bringt.
Habt ihr einen Tipp wie man hier vorgehen kann?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Do 12.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen a,für die die
> Vektoren linear abhängig sind.
>
> a) [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{2 \\ a \\ 0}[/mm]
>
> b) [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ a}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ a \\ -1}[/mm] ,
> [mm]\vektor{2a \\ 2 \\ -1}[/mm]
> Hallo^^
>
> Ich hab versucht diese Aufgabe zu rechnen,aber ich komme
> nicht mehr weite,hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> a) Ich hab folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
>
> 1.) r+2s=0
> 2.) as=0
>
> Bei der Lösung von bin ich mir jetzt nicht sicher,aber ich
> glaube,dass für a=0 der Vektor linear abhängig ist ???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Hier hab ich auch ein Gleichungssystem aufgestellt
>
> 1.) r+s+2at=0
> 2.) r+sa+2t=0
> 3.) ra-s-t=0
>
> Das krieg aber irgendwie nicht aufgelöst,ich habs mit
> Einsetzungsverfahren versucht,aber da komm ich auf 0=0,was
> mir ja nichts bringt.
Du kennst die Forumregeln 
Was hast du konkret gerechnet?
Gruß Abakus
> Habt ihr einen Tipp wie man hier vorgehen kann?
>
> Vielen Dank
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 12.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > b) Hier hab ich auch ein Gleichungssystem aufgestellt
> >
> > 1.) r+s+2at=0
> > 2.) r+sa+2t=0
> > 3.) ra-s-t=0
> >
> > Das krieg aber irgendwie nicht aufgelöst,ich habs mit
> > Einsetzungsverfahren versucht,aber da komm ich auf 0=0,was
> > mir ja nichts bringt.
> Du kennst die Forumregeln
> Was hast du konkret gerechnet?
Ich hab die 3.) Gleichung nach ra aufgelöst und..........wieder in die dritte eingesetzt.Ok,habs grad gemerkt,das war wohl unlogisch.
Also hab ichs nochmal probiert,hab dann die dritte Gleichung nach s aufgelöst,also s=ra-t und hab das in die 2.) eingesetzt,dann hab ich raus [mm] r+ra^{2}-ta+2t=0.Jetzt [/mm] wollte ich eine der drei Gleichungen nach t auflösen und in diese einsetzen,aber da hab ich immer noch ein s und dann hab ich wieder 3 Variablen,das geht auch nicht.Also hab ich mal versucht die 2.) von der 1.) abzuziehen dann hab ich s-sa+2at-2t=0,hier taucht aber wieder das gleiche problem auf...???
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Do 12.02.2009 | | Autor: | abakus |
> > > b) Hier hab ich auch ein Gleichungssystem aufgestellt
> > >
> > > 1.) r+s+2at=0
> > > 2.) r+sa+2t=0
> > > 3.) ra-s-t=0
> > >
> > > Das krieg aber irgendwie nicht aufgelöst,ich habs mit
> > > Einsetzungsverfahren versucht,aber da komm ich auf 0=0,was
> > > mir ja nichts bringt.
> > Du kennst die Forumregeln
> > Was hast du konkret gerechnet?
>
> Ich hab die 3.) Gleichung nach ra aufgelöst
> und..........wieder in die dritte eingesetzt.Ok,habs grad
> gemerkt,das war wohl unlogisch.
> Also hab ichs nochmal probiert,hab dann die dritte
> Gleichung nach s aufgelöst,also s=ra-t und hab das in die
> 2.) eingesetzt,dann hab ich raus [mm]r+ra^{2}-ta+2t=0.[/mm]
Hallo,
du musst s nicht nur in eine, sondern in beide verbleibende Gleichungen einsetzen.
So hast du nur noch zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten r und t.
Gruß Abakus
> Jetzt wollte ich eine der drei Gleichungen nach t auflösen und in
> diese einsetzen,aber da hab ich immer noch ein s und dann
> hab ich wieder 3 Variablen,das geht auch nicht.Also hab ich
> mal versucht die 2.) von der 1.) abzuziehen dann hab ich
> s-sa+2at-2t=0,hier taucht aber wieder das gleiche problem
> auf...???
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 15.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > > b) Hier hab ich auch ein Gleichungssystem aufgestellt
> > > >
> > > > 1.) r+s+2at=0
> > > > 2.) r+sa+2t=0
> > > > 3.) ra-s-t=0
> > > >
> > > > Das krieg aber irgendwie nicht aufgelöst,ich habs mit
> > > > Einsetzungsverfahren versucht,aber da komm ich auf 0=0,was
> > > > mir ja nichts bringt.
> > > Du kennst die Forumregeln
> > > Was hast du konkret gerechnet?
> >
> > Ich hab die 3.) Gleichung nach ra aufgelöst
> > und..........wieder in die dritte eingesetzt.Ok,habs grad
> > gemerkt,das war wohl unlogisch.
> > Also hab ichs nochmal probiert,hab dann die dritte
> > Gleichung nach s aufgelöst,also s=ra-t und hab das in die
> > 2.) eingesetzt,dann hab ich raus [mm]r+ra^{2}-ta+2t=0.[/mm]
> Hallo,
> du musst s nicht nur in eine, sondern in beide
> verbleibende Gleichungen einsetzen.
> So hast du nur noch zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten r
> und t.
> Gruß Abakus
Ok,vielen dank erst mal.
Also ich hab dann folgende 2 Gleichungen:
1.) r+ra-t+2at=0
2.) [mm] r+ra^{2}-ta+2t=0
[/mm]
Ich wollte jetzt die 1.) Gleichung nach r auflösen und in die 2.einsetzen,aber das geht nicht,da das r in 2 Summanden steckt.
Dann hab ich mir gedacht die erste Gleichung nach r+ra aufzulösen dann hab ich 1.) r+ra=t-2at und wollte das in die 2.einsetzen.Die 2. Gleichung kann man doch auch so schreiben 2.) r+ra*a-ta+2t.
Meine Frage ist jetzt,darf ich das r+ra aus 1.) in 2.) einsetzen und würde das dann so aussehen (t-2at)*a-ta+2t=0 ?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 So 15.02.2009 | | Autor: | abakus |
> > > > > b) Hier hab ich auch ein Gleichungssystem aufgestellt
> > > > >
> > > > > 1.) r+s+2at=0
> > > > > 2.) r+sa+2t=0
> > > > > 3.) ra-s-t=0
> > > > >
> > > > > Das krieg aber irgendwie nicht aufgelöst,ich habs mit
> > > > > Einsetzungsverfahren versucht,aber da komm ich auf 0=0,was
> > > > > mir ja nichts bringt.
> > > > Du kennst die Forumregeln
> > > > Was hast du konkret gerechnet?
> > >
> > > Ich hab die 3.) Gleichung nach ra aufgelöst
> > > und..........wieder in die dritte eingesetzt.Ok,habs grad
> > > gemerkt,das war wohl unlogisch.
> > > Also hab ichs nochmal probiert,hab dann die dritte
> > > Gleichung nach s aufgelöst,also s=ra-t und hab das in die
> > > 2.) eingesetzt,dann hab ich raus [mm]r+ra^{2}-ta+2t=0.[/mm]
> > Hallo,
> > du musst s nicht nur in eine, sondern in beide
> > verbleibende Gleichungen einsetzen.
> > So hast du nur noch zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten
> r
> > und t.
> > Gruß Abakus
>
> Ok,vielen dank erst mal.
> Also ich hab dann folgende 2 Gleichungen:
>
> 1.) r+ra-t+2at=0
> 2.) [mm]r+ra^{2}-ta+2t=0[/mm]
>
> Ich wollte jetzt die 1.) Gleichung nach r auflösen und in
> die 2.einsetzen,aber das geht nicht,da das r in 2 Summanden
> steckt.
r+ra-t+2at=0
r(1+a) -t+2at=0
r(1+a)=t-2at
r(1+a)=t(1-2a)
r=....
Gruß Abakus
> Dann hab ich mir gedacht die erste Gleichung nach r+ra
> aufzulösen dann hab ich 1.) r+ra=t-2at und wollte das in
> die 2.einsetzen.Die 2. Gleichung kann man doch auch so
> schreiben 2.) r+ra*a-ta+2t.
> Meine Frage ist jetzt,darf ich das r+ra aus 1.) in 2.)
> einsetzen und würde das dann so aussehen (t-2at)*a-ta+2t=0
> ?
>
> Vielen Dank
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 15.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> >
> > Ok,vielen dank erst mal.
> > Also ich hab dann folgende 2 Gleichungen:
> >
> > 1.) r+ra-t+2at=0
> > 2.) [mm]r+ra^{2}-ta+2t=0[/mm]
> >
> > Ich wollte jetzt die 1.) Gleichung nach r auflösen und in
> > die 2.einsetzen,aber das geht nicht,da das r in 2 Summanden
> > steckt.
> r+ra-t+2at=0
> r(1+a) -t+2at=0
> r(1+a)=t-2at
> r(1+a)=t(1-2a)
> r=....
> Gruß Abakus
>
Oh,stimmt,da drauf bin ich gar nicht gekommen.
Nun ja,dann hab ich mal weitergemacht.und hab [mm] r=\bruch{t-2at}{1+a}
[/mm]
in 2.) eingesetzt.Dann hab ich [mm] \bruch{t-2at}{1+a}+\bruch{ta^{2}-2a^{3}t}{1+a}-ta+2t=0
[/mm]
Dann -ta und 2t mit dem Nenner (1+a) erweitert: [mm] \bruch{t-2at}{1+a}+\bruch{ta^{2}-2a^{3}t}{1+a}-\bruch{ta-ta^{2}}{1+a}+\bruch{2t+2at}{1+a}=0
[/mm]
Jetzt zusammenfassen:
[mm] \bruch{3t-2a^{3}t-ta}{1+a}=0
[/mm]
Und den Zähler =0 setzen:
[mm] t*(3-2a^{3}-a)=0
[/mm]
Also wenn ich mich jetzt nirgendwo verrechnet hab und das so stimmt,dann bedeutet das doch dass t immer 0 ist.Und jetzt kann ich mir die Gleichungen am Anfang nochmal anseh,z.B. r+ra-t+2at.Wenn ich hier t=0 einsetze,dann hab ich r+ra=0.Jetzt löse ich das nach a auf und hab a=-1.
Heißt das,dass es für a=-1 ein linear abhängiger Vektor ist?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 So 15.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Aus $ [mm] t\cdot{}(3-2a^{3}-a)=0 [/mm] $
folgt t=0 ODER [mm] (3-2a^{3}-a)=0
[/mm]
Und mach mal die Fallunterscheidung bei $ [mm] r=\bruch{t-2at}{1+a} [/mm] $. Was Passiert, wenn der Nenner =0 ist, also a=-1
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 15.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> Aus [mm]t\cdot{}(3-2a^{3}-a)=0[/mm]
> folgt t=0 ODER [mm](3-2a^{3}-a)=0[/mm]
Stimmt,aber ich hab gedacht,dass a eine Konstante und man des zweiten Ausdrucj deswegen nicht =0 setzen muss,habs jetzt aber gemacht.
Also [mm] 3-2a^{3}-a=0
[/mm]
[mm] 3-a*(2a^{2}+1)=0
[/mm]
[mm] 3=2a^{3}+a
[/mm]
[mm] a=\bruch{3}{2a^{2}+1}
[/mm]
Aber was bringt mir das?Dann hab ich im Nenner wieder ein a ?
> Und mach mal die Fallunterscheidung bei
> [mm]r=\bruch{t-2at}{1+a} [/mm]. Was Passiert, wenn der Nenner =0
> ist, also a=-1
>
Ja,da dran hatte ich zuerst auch gedacht,aber dann hab ich gedacht,dass ein Bruch=0 ist wenn der Zähler=0 ist und dass der Nenner nicht =0 sein darf,weils dann nicht definiert ist.
Ist es hier nicht so?Aber warum ?
Und was meinst du denn mit was passiert wenn a=-1 ist?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 15.02.2009 | | Autor: | abakus |
>
> >
> > Aus [mm]t\cdot{}(3-2a^{3}-a)=0[/mm]
> > folgt t=0 ODER [mm](3-2a^{3}-a)=0[/mm]
>
> Stimmt,aber ich hab gedacht,dass a eine Konstante und man
> des zweiten Ausdrucj deswegen nicht =0 setzen muss,habs
> jetzt aber gemacht.
> Also [mm]3-2a^{3}-a=0[/mm]
> [mm]3-a*(2a^{2}+1)=0[/mm]
> [mm]3=2a^{3}+a[/mm]
> [mm]a=\bruch{3}{2a^{2}+1}[/mm]
> Aber was bringt mir das?Dann hab ich im Nenner wieder ein
> a ?
>
> > Und mach mal die Fallunterscheidung bei
> > [mm]r=\bruch{t-2at}{1+a} [/mm]. Was Passiert, wenn der Nenner =0
> > ist, also a=-1
> >
>
> Ja,da dran hatte ich zuerst auch gedacht,aber dann hab ich
> gedacht,dass ein Bruch=0 ist wenn der Zähler=0 ist und dass
> der Nenner nicht =0 sein darf,weils dann nicht definiert
> ist.
> Ist es hier nicht so?Aber warum ?
> Und was meinst du denn mit was passiert wenn a=-1 ist?
Dann darfst du bei r(1+a)=t(1-2a) gar nicht erst durch (1+a) teilen.
Im Fall a=-1 wird daraus
r(1+(-1))=t(1-2*(-1)), also
r*0=t*3 bzw. t=0 (und r beliebig).
Gruß Abakus
>
> lg
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 15.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Und was meinst du denn mit was passiert wenn a=-1 ist?
>
> Dann darfst du bei r(1+a)=t(1-2a) gar nicht erst durch
> (1+a) teilen.
> Im Fall a=-1 wird daraus
> r(1+(-1))=t(1-2*(-1)), also
> r*0=t*3 bzw. t=0 (und r beliebig).
hm,ok,bin jetzt ein wenig verwirrt.Bedeutet das jetzt,dass der Vektor für [mm] a\in\IR [/mm] außer a=-1 linear abhängig ist ?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 15.02.2009 | | Autor: | abakus |
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> > > Und was meinst du denn mit was passiert wenn a=-1 ist?
> >
> > Dann darfst du bei r(1+a)=t(1-2a) gar nicht erst durch
> > (1+a) teilen.
> > Im Fall a=-1 wird daraus
> > r(1+(-1))=t(1-2*(-1)), also
> > r*0=t*3 bzw. t=0 (und r beliebig).
>
> hm,ok,bin jetzt ein wenig verwirrt.Bedeutet das jetzt,dass
> der Vektor für [mm]a\in\IR[/mm] außer a=-1 linear abhängig ist ?
>
> lg
Hallo,
sortiere mal ein wenig die Teilergebnisse.
Du hast am Anfang s substituiert, jetzt auch noch r, damit erhältst du einen Term für t (in Abh. von a).
Um das gesamte GS zu lösen, musst du jetzt für dieses t auch das r und das s ausrechnen (einmal für a=-1 und einmal für beliebige andere a).
Dann kannst du auswerten, ob es Lösungen gibt, bei denen r, s UND t Null sein MÜSSEN (Unabhängigkeit) oder ob es Lösungen geben kann (bei bestimmten Werten a), bei denen mindestens eine der Zahlen r, s, t von Null verschieden ist (Abhängigkeit).
(Der Fall a=-1 sieht ja schon danach aus, als ob es Lösungen auch für r [mm] \ne [/mm] 0 geben kann, aber schau nach, ob es auch einen Wert s gibt, der dann die Gleichungen erfüllt.)
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 15.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
> sortiere mal ein wenig die Teilergebnisse.
> Du hast am Anfang s substituiert, jetzt auch noch r, damit
> erhältst du einen Term für t (in Abh. von a).
> Um das gesamte GS zu lösen, musst du jetzt für dieses t
> auch das r und das s ausrechnen (einmal für a=-1 und einmal
> für beliebige andere a).
heißt das,dass ich jetzt in die Anfangsgleichungen für t irgendwas einsetzen muss?Aber was?
Irgendwie versteh ich nicht so ganz,wie ich s und r ausrechnen soll?
> Dann kannst du auswerten, ob es Lösungen gibt, bei denen
> r, s UND t Null sein MÜSSEN (Unabhängigkeit) oder ob es
> Lösungen geben kann (bei bestimmten Werten a), bei denen
> mindestens eine der Zahlen r, s, t von Null verschieden ist
> (Abhängigkeit).
> (Der Fall a=-1 sieht ja schon danach aus, als ob es
> Lösungen auch für r [mm]\ne[/mm] 0 geben kann, aber schau nach, ob
> es auch einen Wert s gibt, der dann die Gleichungen
> erfüllt.)
>
lg
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Hallo,
mir ist das alles inzwischen sehr unübersichtlich, so daß ich nochmal am Anfang einsteige, zur Orientierung für mich, als Zusammenfassung für Dich.
Um herauszufinden, für welches a die drei besagten Vektoren linear abhängig sind, muß man herausfinden, für welches a das Gleichungssystem
>>>>> 1.) r+s+2at=0
>>>>> 2.) r+sa+2t=0
>>>>> 3.) ra-s-t=0
mindestens eine von der Lösung r=s=t=0 verschiedene Lösung hat.
Das Gleichungssystem war ja irgendwie schon gelöst, aber ich rolle die Lösung hier nach einmal auf, damit Du siehst, wie man es systematisch angehen könnte.
Aus 1) erhält man [mm] \green{r=-s-2at}.
[/mm]
Dieses r setzte ich nun in Gleichung 2) und 3) ein und erhalte
2') 0= [mm] \green{-s-2at}+sa+2t [/mm] = s(a-1)+2t(1-a)
3') [mm] 0=(\green{-s-2at}) [/mm] a-s-t =-sa -2a^2t-s-t=s(-a-1) + [mm] t(-2a^2-1)
[/mm]
Nun löse ich 2') nach s auf. Dazu muß ich dividieren durch (a-1), was ich nur darf für [mm] a-1\not=0.
[/mm]
Ich arbeite jetzt also für den Fall [mm] [b]a-1\not=0[/b] [/mm] weiter, den Fall a-1=0 untersuche ich später.
2') ==> 0=s-2t ==> [mm] \blue{s=2t}
[/mm]
Dieses s setze ich jetzt in 3') ein:
3'') 0= [mm] \blue{2t}(-a-1) [/mm] + [mm] t(-2a^2-1)= t*(-2a^2- [/mm] 2a -3)
Nun möchte ich durch [mm] (-2a^2- [/mm] 2a -3) dividieren, dazu muß ich mich erst schauen, für welche a dieser Ausdruck =0 wird, damit ich nicht verbotenerweise durch 0 dividiere.
Ergebnis: [mm] -2a^2- [/mm] 2a -3 wird nie=0, und damit erhalte ich t=0.
Durch Einsetzen in den blauen Ausruck bekomme ich s=0, und wenn ich beides ins Grüne setze habe ich r=0.
Was weiß ich nun?
Sofern [mm] a-1\not=0 [/mm] gibt es nur die Lösung r=s=t=0, die Vektoren sind also linear unabhängig.
Als einziger Kandidat für Abhängigkeit bleibt a-1=0, dh. a=1.
Nun löse das GS für a=1. Gib eine von r=s=t=0 verschiedene Lösung an. Damit ist die Aufgabe dann gelöst.
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Ich weiß nicht, ob Ihr Determinanten im hattet im zusammenhang mit linearen GS hattet.
In diesem Fall kannst Du Aufg. b) schnell lösen, indem Du die Determinante ausrechnest und nachschaust, für welche a sie =0 wird. Für dieses a ist die Gleichung nämlich nicht eindeutig zu lösen, womit man weiß, daß es eine von der Lösung r=s=t=0 verschiedene Lösung gibt, was bedeutet: die Vektoren sind abhängig.
Das ist, falls Du ihn verwenden kannst und darfst, sicher der bequemere Weg.
Gruß v. Angela
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