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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Di 14.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Im Skriptum steht dass: [mm] \{sin(x), cos(x)} \subseteq F(\IR, \IR) [/mm] linear unabhängig ist.
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] : [mm] \lambda [/mm] * sin(x) + [mm] \mu [/mm] * cos(x) =0 |
Nehme ich nun für x den wert [mm] \pi/4.
[/mm]
kommt für die gleichung heraus: [mm] \lambda \frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \frac{\wurzel{2}}{2} [/mm] =0
Hier kann ich aber wählen [mm] \lambda [/mm] =1 und [mm] \mu [/mm] =-1
Hier sind nun nicht alle Skalare 0 und es existiert eine nicht triviale Relation?
LG
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Hallo quasimo,
> Im Skriptum steht dass: [mm]\{sin(x), cos(x)} \subseteq F(\IR, \IR)[/mm]
> linear unabhängig ist.
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm] : [mm]\lambda[/mm] * sin(x) + [mm]\mu[/mm] * cos(x) =0
>
>
> Nehme ich nun für x den wert [mm]\pi/4.[/mm]
> kommt für die gleichung heraus: [mm]\lambda \frac{\sqrt{2}}{2}[/mm]
> + [mm]\mu[/mm] * [mm]\frac{\wurzel{2}}{2}[/mm] =0
> Hier kann ich aber wählen [mm]\lambda[/mm] =1 und [mm]\mu[/mm] =-1
> Hier sind nun nicht alle Skalare 0 und es existiert eine
> nicht triviale Relation?
Wenn für feste [mm] \lambda, \mu [/mm] sich für alle x Null ergäbe, wären die Funktionen linear abhängig. Das sich bei einem bestimmten x die Gleichung zu Null ergibt, ist doch wurscht. Das kann man ja immer erreichen, egal wie die Funktionen aussehen.
Linear abhängig wären z.B. [mm] \sin{(2x)} [/mm] und [mm] 3\sin{(x)}\cos{(x)}, [/mm] da
[mm] \blue{3*}\sin{(2x)}\blue{-2*}3\sin{(x)}\cos{(x)}=0 [/mm] ist. Immer.
Grüße
reverend
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> Im Skriptum steht dass: [mm]\{sin(x), cos(x)} \subseteq F(\IR, \IR)[/mm]
> linear unabhängig ist.
Hallo,
und Du glaubst das nicht und widerlegst es in Deinem Post.
Habe ich Dein Anliegen so richtig verstanden?
Rollen wir die Angelegenheit ganz von vorn auf.
Du hast zwei Funktionen [mm] f,g:\IR\to \IR [/mm] mit
f(x):=sin(x)
g(x):=cos(x),
von denen gesagt wird, daß sie linear unabhängig sind.
Um zu prüfen, ob dies stimmt, müssen wir schauen, ob aus
[mm] \lambda*f +\mu*g=0_{F(\IR, \IR)}
[/mm]
folgt, daß [mm] \lambda=\mu=0.
[/mm]
Die Null in [mm] F(\IR, \IR) [/mm] ist die Nullfunktion, also die Funktion n mit n(x):=0 für alle
Es sei also
[mm] \lambda*f +\mu*g=n.
[/mm]
Funktionen sind gleich, wenn sie auf dem kompletten Definitionsbereich übereinstimmen.
Also folgt:
für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt
[mm] (\lambda*f +\mu*g)(x)=n(x)=0
[/mm]
==>
[mm] \lambda*f(x) +\mu*g(x)=0
[/mm]
==>
[mm] \lambda*sin(x)+\mu*cos(x)=0.
[/mm]
Nun sind wir an der Stelle angelangt, an welcher Du zuvor schon standest.
Achtung, Achtung: die [mm] \lambda, \mu [/mm] müssen so sein, daß sie es für jedes x tun - und nicht nur für [mm] x=\pi/4, [/mm] was Du Dir ausgesucht hast.
Du wirst zugeben, daß es z.B. für x=25 das von Dir errechnete Pärchen [mm] \lambda=1 [/mm] und [mm] \mu=-1 [/mm] nicht tut.
Nochmal: für alle x muß das gelten.
Wenn es für alle x gelten muß, dann muß es insbesondere auch für x=0 und [mm] x=\pi/2 [/mm] funktionieren.
Aus [mm] \lambda*sin(x)+\mu*cos(x)=0 [/mm] für alle x folgt also
[mm] \lambda*sin(0)+\mu*cos(0)=0 [/mm] und
[mm] \lambda*sin(\pi/2)+\mu*cos(\pi/2)=0.
[/mm]
Aus diesem Gleichungssystem folgt, daß [mm] \lambda=\mu=0.
[/mm]
Wir wissen jetzt: wenn überhaupt irgendwelche [mm] \lambda,\mu [/mm] die Gleichung [mm] \lambda*f +\mu*g=0_{F(\IR, \IR)} [/mm] lösen, dann kann es nur mit [mm] \lambda=\mu=0 [/mm] funktionieren.
Und natürlich funktioniert es mit diesen.
Also folgt aus [mm] \lambda*f +\mu*g=0_{F(\IR, \IR)}, [/mm] daß [mm] lambda=\mu=0, [/mm] und somit sind f und g linear unabhängig.
Ich hab' das jetzt bewußt ganz kleinschrittig dargestellt, weil ich es dereinst nur so begreifen konnte.
LG Angela
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm] : [mm]\lambda[/mm] * sin(x) + [mm]\mu[/mm] * cos(x) =0
>
>
> Nehme ich nun für x den wert [mm]\pi/4.[/mm]
> kommt für die gleichung heraus: [mm]\lambda \frac{\sqrt{2}}{2}[/mm]
> + [mm]\mu[/mm] * [mm]\frac{\wurzel{2}}{2}[/mm] =0
> Hier kann ich aber wählen [mm]\lambda[/mm] =1 und [mm]\mu[/mm] =-1
> Hier sind nun nicht alle Skalare 0 und es existiert eine
> nicht triviale Relation?
>
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Fr 17.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Vielen Dank dass ihr euch die zeit genommen habt. Ich habe es nun verstanden.
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