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gegeben seien 3 Vektoren v1...v3 aus [mm] IR^4. [/mm] </task>
Ich habe diese Aufgabe mit konkreten Vektoren, frage der EInfachheit halber aber allgemein, ob ich
SO ARGUMENTIEREN KANN: (?)
Diese Vektoren führen auf ein LGS mit Koeff.matrix der Form 4x3.
Die Rangbestimmung dieser Matrix ergibt Rg=3
Was mich hier durcheinanderbringen könnte:
Wir haben zwar Elemente aus [mm] IR^4, [/mm] aber mit 3 (lin. unabh.) Vektoren kann ich (maximal) den [mm] IR^3 [/mm] aufspannen (stimmt das?).
D. h. wenn Rg=3 gleich n=3 bzgl. [mm] IR^n [/mm] (und hier wieder die Frage, ob denn n=3 oder n=4 wichtig ist), dann gibt es genau eine Lsg. des LGS
-> es muss der Nullvektor als Lsg sein, weil dieser immer Lsg ist, wenn es darum geht, Vektoren auf den Nullvektor abzubilden
-> die geg. Vektoren v1...v3 sind lin. unabhängig.
Nachtrag:
Eigentlich muesste mir doch die tatsache, dass die Matrix mti 3 SPALTEN den Zeilenrang 3 hat bereits alles über die lin. unabhängigkeit aussagen, oder?
Gibt es nicht eine Regel wie Zeilenrang=Spaltenrang-> ...?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> gegeben seien 3 Vektoren v1...v3 aus [mm]IR^4.[/mm]
> Ich habe diese Aufgabe mit konkreten Vektoren,
unglücklicherweise haben wir die Aufgabe nicht.
Du formulierst weder eine konkrete Aufgabenstellung noch jetzt oder später eine konkrete Fragestellung.
Wundere dich dann nicht, wenn auch die Antworten nur allgemein ausfallen können.
> frage der
> EInfachheit halber aber allgemein, ob ich
>
> SO ARGUMENTIEREN KANN: (?)
>
> Diese Vektoren führen auf ein LGS mit Koeff.matrix der
> Form 4x3.
Diese Vektoren allein führen zunächst mal nirgendwo hin. Erst die Aufgabenstellung kann auf ein LGS führen.
>
> Die Rangbestimmung dieser Matrix ergibt Rg=3
>
> Was mich hier durcheinanderbringen könnte:
> Wir haben zwar Elemente aus [mm]IR^4,[/mm] aber mit 3 (lin. unabh.)
> Vektoren kann ich (maximal) den [mm]IR^3[/mm] aufspannen (stimmt
> das?).
Nein.
Drei linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^4 [/mm] spannen einen dreidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] auf. Der ist zwar isomorph aber nicht gleich dem [mm] \IR^3.
[/mm]
>
> D. h. wenn Rg=3 gleich n=3 bzgl. [mm]IR^n[/mm] (und hier wieder die
> Frage, ob denn n=3 oder n=4 wichtig ist), dann gibt es
> genau eine Lsg. des LGS
> -> es muss der Nullvektor als Lsg sein, weil dieser immer
> Lsg ist, wenn es darum geht, Vektoren auf den Nullvektor
> abzubilden
Jetzt kommen auf einmal auch noch Abbildungen ins Spiel und spätestens jetzt wäre doch die Angabe der Fragestellung angebracht.
>
> -> die geg. Vektoren v1...v3 sind lin. unabhängig.
>
> Nachtrag:
> Eigentlich muesste mir doch die tatsache, dass die Matrix
> mti 3 SPALTEN den Zeilenrang 3 hat bereits alles über die
> lin. unabhängigkeit aussagen, oder?
> Gibt es nicht eine Regel wie Zeilenrang=Spaltenrang-> ...?
Wenn die mit den Vektoren gebildete Matrix den Rang 3 hat, dann sind die drei Vektoren tatsächlich linear unabhängig.
Gruß Sax.
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"Diese Vektoren allein führen zunächst mal nirgendwo hin. Erst die Aufgabenstellung kann auf ein LGS führen.
>
> Die Rangbestimmung dieser Matrix ergibt Rg=3
>
> Was mich hier durcheinanderbringen könnte:
> Wir haben zwar Elemente aus $ [mm] IR^4, [/mm] $ aber mit 3 (lin. unabh.)
> Vektoren kann ich (maximal) den $ [mm] IR^3 [/mm] $ aufspannen (stimmt
> das?).
Nein.
Drei linear unabhängige Vektoren des $ [mm] \IR^4 [/mm] $ spannen einen dreidimensionalen Unterraum des $ [mm] \IR^4 [/mm] $ auf. Der ist zwar isomorph aber nicht gleich dem $ [mm] \IR^3. [/mm] "
Also was mir reichen würde:
Wenn diese 3 Vektoren einen 3-dim. Unterraum aufspannen (egal von welchem [mm] IR^n) [/mm] und der Rang der Matrix
(die durch die Suche nach einer Lsg. für die Abbildung auf den Nullvektor entsteht, also: welche Linearkombination der Vektoren ergibt den Nullvektor)
aus diesen Vektoren 3 ist, dann kann man daraus doch folgern, dass die 3 Vektoren lin. unabhängig sind, oder?
Denn (wären diese Aussagen äquivalent?)
"Wenn die mit den Vektoren gebildete Matrix den Rang 3 hat, dann sind die drei Vektoren tatsächlich linear unabhängig."
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Meines Wissens ist die Definition des Rangs einer Matrix die maximale Anzahl l.u. Spalten/Zeilen.
Wenn ich deine Vermutung/Frage richtig interpretiere, dann müsste das schon die Antwort sein.
Wenn du als Rang der Matrix 3 berechnet hast, dann sind dort 3 l.u. Vektoren drin.
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