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Lin. Koordinatentransformation: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Mo 20.12.2004
Autor: xErsanx23

Hallo ich hätte paar Fragen zu einer Aufgabe. Die Lösung hab ich aber weis nicht genau wie er darauf kommt.

Aufgabe) Konstruieren Sie auf Basis der Sinus-Funktion durch entsprechende lineare Transformationen eine reelle Funktion f: R->R mit folgenden Eigenschaften:
* f ist periodisch mit der primitiven Periode 4
* f hat bei x=2 ein Maximum mit dem Funktionswert f(2)=8
* Bei den Minima nimmt f den Funktionswert 2 an.

LÖSUNG ist : y= [mm] 3sin(\bruch{2\pi}{4}*(x-1))+5 [/mm]

Meine Lösung: Starte mit y=sin(x). d.h die Funktion hat die primitive Periode [mm] 2\pi. [/mm] Skaliere horizontal mit dem Faktor [mm] \bruch{2\pi}{4}x. [/mm] Dann hat die Funktion [mm] y=sin(\bruch{2\pi}{4}x) [/mm] die gewünschte Periode. NUN komme ich nicht mehr weiter. PLEASE HELP!!!!!!!!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lin. Koordinatentransformation: weitere Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Mo 20.12.2004
Autor: Loddar

Hallo xErsanx23,

[willkommenmr] !!

> Aufgabe) Konstruieren Sie auf Basis der Sinus-Funktion
> durch entsprechende lineare Transformationen eine reelle
> Funktion f: R->R mit folgenden Eigenschaften:
>  * f ist periodisch mit der primitiven Periode 4
>  * f hat bei x=2 ein Maximum mit dem Funktionswert f(2)=8
>  * Bei den Minima nimmt f den Funktionswert 2 an.
>  

LÖSUNG ist : [mm]y= 3sin(\bruch{2\pi}{4}*(x-1))+5[/mm]

>
> Meine Lösung: Starte mit y=sin(x). d.h die Funktion hat die
> primitive Periode [mm]2\pi.[/mm] Skaliere horizontal mit dem Faktor
> [mm]\bruch{2\pi}{4}x.[/mm] Dann hat die Funktion
> [mm]y=sin(\bruch{2\pi}{4}x)[/mm] die gewünschte Periode.
> NUN komme ich nicht mehr weiter. PLEASE HELP!!!!!!!!!!!

Kümmern wir uns mal um den Faktor 3 und den Summanden 5.

Die "normale" Sinus-Funktion pendelt doch zwischen -1 und +1, d.h. der Unteschied zwischen Maximalwert und Minimalwert beträgt: +1 - (-1) = 2.

In unserer Aufgabe beträgt diese Differenz: 8 - 2 = 6.
Um die Sinusfunktion also auf die gewünschte Form zu strecken, benötigen wir den Faktor 6 / 2 = 3. Damit haben wir unseren Faktor 3 vor dem sin.

Nun würde unsere Funktion $y = 3 * [mm] sin(\bruch{2\pi}{4}x)$ [/mm] aber zwischen den Werte -3 und +3 pendeln.
Der Minimalwert soll aber +2 betragen. Daher heben wir die gesamte Funktion um den Summanden +5 an (Parallelverschiebung).
Denn: (+2) - (-3) = 2 + 3 = 5!!

Wir haben also nun: $y = 3 * [mm] sin(\bruch{2\pi}{4}x) [/mm] + 5$

Kommen wir zum letzten Punkt.
Wir wissen von der "normalen" Sinus-Funktion, daß sie ihr (erstes) Maximum bei [mm] $x_{max} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] hat.
Wir wollen aber ein Maximum bei [mm] $x_E [/mm] = 2$.

Wir müssen nun also eine sog. "Phasenverschiebung" (horizontale Verschiebung der Sinus-Funktion) erzeugen.
Es muß also gelten:

[mm] $\bruch{2 \pi}{4}*x_E [/mm] + p = [mm] \bruch{\pi}{2}*2 [/mm] + p = [mm] \pi [/mm] + p = [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm]
Umgeformt: $p = - [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm]

Wenn wir das nun einsetzen in unsere Funktion und noch [mm] $\bruch{\pi}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2 \pi}{4}$ [/mm] ausklammern, erhalten wir unsere gewünschte Funktion:

[mm]y = 3 * sin[\bruch{2\pi}{4}*(x-1)] + 5[/mm]


Falls irgendwelche Zwischenschritte unklar sind, einfach melden ...

Grüße Loddar


Bezug
        
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Lin. Koordinatentransformation: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:09 Do 23.12.2004
Autor: xErsanx23

Danke Loddar für die schneller Bearbeitung der Aufgabe. Echt SUPER!!! Also echt ein geiles Forum muss ich schon hier erwähnen. Meine nächste Frage bezieht sich auf die gleiche Aufgabenstellung. Wollte nur wissen ob ich richtig denke. Hab die Aufgabe nach deiner Erklärung nach gelöst.
AUFGABE:
Gegeben ist eine reelle Funktion f(x) mit der primitiven Periode 4. Die Funktion hat an der Stelle x=0 ein absolutes Maximum mit f(0)=3 und an der Stelle x=3 ein absolutes Minimum mit f(3)=0.

Erzeugen Sie mit Hilfe von linearen Koodinatentransfomationen aus der Funktion f(x) eine Funktion g(x) mit folgenden Eigenschaften (es gibt zwei Lösungen, finden Sie eine!)
* g(x) hat die primitive Periode 8
* g(x) hat an der Stelle x=1 ein absolutes Maximum mit g(1)=6 und
* g(x) hat an der Stelle x=3 ein absolutes Minimum mit g(3)=0.

LÖSUNG:  

primitive Periode von f(x) durch primitive Periode g(x) => [mm] \bruch{4}{8} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
                            [mm] g(x)=f(\bruch{1}{2}x) [/mm]

f(x) maximum-minimum= 3-0=3
g(x)maximum-minimum= 6-0=6

                             => [mm] \bruch{6}{3}=2 [/mm]
                             [mm] g(x)=2*f(\bruch{1}{2}x) [/mm]

Max. von f(x) ist bei x=0 wir wollen aber Max. bei x=1
demzufolge:  [mm] x_{e}+p=1+p= [/mm] p=-1
                    
                             => g(x)= 2* [mm] f(\bruch{1}{2}*(x-1)) [/mm]

Das ist jetzt meine Lösung. Die Stimmt fast mit der Lösung vom Prof überein. Seine Lösung: g(x)= [mm] 2*f(-\bruch{1}{2}*(x-1)) [/mm]
Frage mich wie er auf die [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] kommt.
Bedanke mich schon im Voraus für Eure Hilfe. DANKE





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Lin. Koordinatentransformation: Aufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Do 23.12.2004
Autor: Loddar

Hallo xErsanx23 !!

> Danke Loddar für die schneller Bearbeitung der Aufgabe.
> Echt SUPER!!! Also echt ein geiles Forum muss ich schon
> hier erwähnen.

;-)

> Meine nächste Frage bezieht sich auf die
> gleiche Aufgabenstellung. Wollte nur wissen ob ich richtig
> denke. Hab die Aufgabe nach deiner Erklärung nach gelöst.
> AUFGABE:
> Gegeben ist eine reelle Funktion f(x) mit der primitiven
> Periode 4. Die Funktion hat an der Stelle x=0 ein absolutes
> Maximum mit f(0)=3 und an der Stelle x=3 ein absolutes
> Minimum mit f(3)=0.
>
> Erzeugen Sie mit Hilfe von linearen
> Koodinatentransfomationen aus der Funktion f(x) eine
> Funktion g(x) mit folgenden Eigenschaften (es gibt zwei
> Lösungen, finden Sie eine!)
> * g(x) hat die primitive Periode 8
> * g(x) hat an der Stelle x=1 ein absolutes Maximum mit g(1)=6 und
> * g(x) hat an der Stelle x=3 ein absolutes Minimum mit g(3)=0.
>  
> LÖSUNG:  
>
> primitive Periode von f(x) durch primitive Periode g(x)
> => [mm]\bruch{4}{8}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]g(x)=f(\bruch{1}{2}x)[/mm]

[ok]


> f(x) maximum-minimum= 3-0=3
> g(x)maximum-minimum= 6-0=6
> => [mm]\bruch{6}{3}=2[/mm]
> [mm]g(x)=2*f(\bruch{1}{2}x)[/mm]

[ok]


> Max. von f(x) ist bei x=0 wir wollen aber Max. bei x=1
>  demzufolge:  [mm]x_{e}+p=1+p=[/mm] p=-1

[notok]
Wenn Du mit der Lösung oben vergleichst, wirst Du sehen, daß Du den Koeffizienten vor dem [mm] $x_e$ [/mm] vergessen hast. Du mußt rechnen:
[mm] $\bruch{1}{2}*x_e [/mm] + p = [mm] \bruch{1}{2}*1 [/mm] + p = 0$
Daraus wird dann: $p = [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm]

Das kann aber nicht ganz stimmen!!!
Denn wir haben bei den Maxima eine Verschiebung, beim (ersten) Minimum aber nicht [mm] ($x_{min,f} [/mm] = [mm] x_{min,g} [/mm] = 3$).

[verwirrt] Hhhhm ...

Irgendwie muß dies auch noch berücksichtigt werden. Nur spontan fällt mir grad nix ein ...

> Das ist jetzt meine Lösung. Die Stimmt fast mit der Lösung
> vom Prof überein.
> Seine Lösung: [mm]g(x) = 2*f(-\bruch{1}{2}*(x-1))[/mm]



Kleiner Hinweis am Rande:
Es ist auch in Deinem Interesse, wenn Du bei einer (weiteren) Rückfrage nicht die Ursprungsfrage, sondern Deine aktuelle Frage als "Frage" markierst ...

Grüße + schöne Feiertage ...
Loddar


Bezug
        
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Lin. Koordinatentransformation: Aufgabe 2 : Minuszeichen!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Sa 25.12.2004
Autor: Loddar

Hallo xErsanx23 !!

Ich habe mir noch mal Gedanken gemacht über das Minuszeichen, das Dein Prof in seinem Lösungsvorschlag gegeben hatte ... [lichtaufgegangen]

Unsere Lösung lautete bisher: [mm]g(x) = 2 * f[\bruch{1}{2}*(x-1)][/mm]

Wie bereits erwähnt, liegen in unseren beiden Funktionen f und g die Hoch- bzw. Tiefpunkte nicht in demselben Verhältnis innerhalb der Periode.

Im einzelnen (betrachtet werden lediglich die Verhältnisse innerhalb der 1. Periode):

a.) Funktion f
[mm] $\Delta [/mm] x _f = [mm] x_{min} [/mm] - [mm] x_{max} [/mm] = 3 - 0 = 3$
Das Verhältnis der Abstände innerhalb der Periode [mm] $p_f [/mm] = 4$ beträgt also:
[mm] $\Rightarrow \bruch{\Delta x_f}{p_f} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}$. [/mm]

Das Minimum teilt also die Periode [mm] $p_f$ [/mm] im Verhältnis [mm] $\bruch{3}{4} [/mm] : [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = 3 : 1$


b.) Funktion g
[mm] $\Delta x_g [/mm] = [mm] x_{min} [/mm] - [mm] x_{max} [/mm] = 3 - 1 = 2$
Das Verhältnis der Abstände innerhalb der Periode [mm] $p_g [/mm] = 8$ beträgt also:
[mm] $\Rightarrow \bruch{\Delta x_g}{p_g} [/mm] = [mm] \bruch{2}{8} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] $.

Das Minimum teilt also die Periode [mm] $p_g$ [/mm] im Verhältnis [mm] $\bruch{1}{4} [/mm] : [mm] \bruch{3}{4} [/mm] = 1 : 3$


Das Verhältnis ist also genau umgekehrt. Wir müssen nun also eine (Achsen-)Spiegelung innerhalb jeder Periode erzeugen. Diese Spiegelung wird genau durch den Faktor (-1) erreicht:

[mm]g(x) = 2*f[(-1)*\bruch{1}{2}*(x-1)] = 2*f[-\bruch{1}{2}*(x-1)] [/mm]
Voilà !!


> Das ist jetzt meine Lösung. Die Stimmt fast mit der Lösung
> vom Prof überein.
> Seine Lösung: [mm]g(x) = 2*f(-\bruch{1}{2}*(x-1))[/mm]

[ok] Und jetzt paßt’s ...

Die in der Aufgabenstellung erwähnte 2. Lösungsmöglichkeit sehe ich (leider immer noch) nicht [keineahnung].


Bei unserer Aufgabe war eine solche Betrachtung nicht erforderlich, da wir mit der sin-Funktion eine Funktion hatten, in der Maxima und Minima im Verhältnis 1:1 innerhalb der Periode standen ...

Grüße + schöne Feiertage ...
Loddar


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