Lin.Gleichungssysteme/Teilraum < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Di 11.04.2006 | | Autor: | PhilippH |
| Aufgabe | Beweisen sie folgende Aussage:
Ist K Körper, n [mm] \in [/mm] N und L Teilraum von [mm] K^n, [/mm] so ex. ein homogenes Lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge L ist. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Hat vielleicht jemand hier einen Denkanstoß, ich probiere es schon länger erfolglos. Es handelt sich um eine Aufgabe zu einer Einführungs Vorlesung in die Lineare Algebra.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Di 11.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen sie folgende Aussage:
> Ist K Körper, n [mm]\in[/mm] N und L Teilraum von [mm]K^n,[/mm] so ex. ein
> homogenes Lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge L
> ist.
> Hallo,
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Hat vielleicht
> jemand hier einen Denkanstoß, ich probiere es schon länger
> erfolglos. Es handelt sich um eine Aufgabe zu einer
> Einführungs Vorlesung in die Lineare Algebra.
Nimm eine Basis [mm] $v_1, \dots, v_k$ [/mm] von $L$ und erweitere sie zu einer Basis [mm] $v_1, \dots, v_k, v_{k+1}, \dots, v_n$ [/mm] von [mm] $K^n$.
[/mm]
Ein homogenes lineares Gleichungssystem $A x = 0$ mit $A [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] kannst du ja wie folgt interpretieren: Die Loesungen sind genau die Vektoren $v [mm] \in K^n$, [/mm] welche unter der linearen Abbildung [mm] $K^n \to K^n$, [/mm] $w [mm] \mapsto [/mm] A w$ auf $0$ abgebildet werden. Du suchst also eine lineare Abbildung [mm] $K^n \to K^n$, [/mm] deren Kern gerade $L$ ist.
Kommst du damit schon weiter?
Wenn nicht: Betrachte doch die Abbildung, die [mm] $v_i$ [/mm] auf $0$ abbildet fuer $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] k$ und [mm] $v_j$ [/mm] auf [mm] $v_j$ [/mm] fuer $k < j [mm] \le [/mm] n$.
LG Felix
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