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Limetes bestimmen: Bitte um Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Mo 21.11.2005
Autor: Nescio

Hallo

habe ich die folgenden Aufgaben richtig gelöst?

1.) Es sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine gegen a konvergente Folge mit [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 für alle [mm] n\in \IN. [/mm] Dann konvergiert ( [mm] \wurzel{a_{n}})_{n} [/mm] gegen  [mm] \wurzel{a} [/mm]
[mm] Hinweis:(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}) [/mm] ( [mm] \wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})= a_{n}-a [/mm]

z.Z.:  [mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n  [mm] \ge [/mm] N
         [mm] |(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}| [/mm] <  [mm] \varepsilon [/mm]

Sei   [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig

NR: Aus dem Hinweis ergibt sich:
[mm] |a_{n}- a|=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}) (\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})| [/mm] <   [mm] \varepsilon [/mm]     dies kann als wahr hingenommen worden.

Das Produkt kann man nach Satz 2 (zu dem Absolutbetrag) auseinanderziehen in
[mm] |a_{n}- a|=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a})| |(\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \gdw \bruch{|a_{n}- a|}{|(\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})|}=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a})| [/mm] <  [mm] \varepsilon [/mm]

Q.E.D.


Aufgabe 2.
Bestimme den Limes der Folge: ( [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] -  [mm] \bruch{n+1}{n})_{n \ge1} [/mm]

z.Z.:  [mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n  [mm] \ge [/mm] N
         [mm] |a_{n} [/mm] - 0|= [mm] |\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

Es sei  [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig

NR: [mm] |\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}|= [/mm] (in Vorlesung bewiesen)  [mm] |\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}| [/mm]

Es lässt sich in Anlehnung an |x-y| [mm] \ge [/mm] |x| - |y| (in Vorlesung bewiesen) formulieren:

[mm] |\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}| \ge |\bruch{n+1}{n}| [/mm] - [mm] |\bruch{n}{n+1}| [/mm]
[mm] \gdw |\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|+|\bruch{n}{n+1}| \ge |\bruch{n+1}{n}| [/mm]
lässt sich umdrehen in:
[mm] |\bruch{n+1}{n}| \le|\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|+|\bruch{n}{n+1}| [/mm]
[mm] \gdw |\bruch{n+1}{n}| \le |\bruch{(n+1)^{2} - n^{2}}{n(n+1)}|+|\bruch{n}{n+1}| [/mm]
Betragstriche können weggelassen werden, da nach Voraussetzung [mm] n\ge [/mm] 1 und (n+1)>n (also im Zähler nichts Negatives rauskommen kann)
[mm] \gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)^{2} - n^{2}}{n(n+1)}+\bruch{n}{n+1} [/mm]
[mm] \gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)[(n+1)^{2}-n^{2}+n^{2}]}{n(n+1)^{2}} [/mm]
[mm] \gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)^{2}}{n(n+1)}= \bruch{n+1}{n}= [/mm] 1 [mm] +\bruch{1}{n} [/mm]  <  [mm] \varepsilon [/mm]

gilt für alle n [mm] \ge \bruch{1}{ \varepsilon-1} [/mm]

Geht das so?

Vielen Dank fürs Nachgucken!!!;)







        
Bezug
Limetes bestimmen: zu Aufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Di 22.11.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Nescio!


Bei Aufgabe 2 hast Du auf unglaublich umständliche Art und Weise lediglich nachgewiesen, dass gilt:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n} [/mm] \ = \ 1$



Hier mal mein Ansatz:

[mm] $\left| \ a_n-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \left(\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}\right)-0 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{n*n-(n+1)*(n+1)}{(n+1)*n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{-2n-1}{(n+1)*n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ (-1)*\bruch{2n+1}{(n+1)*n} \ \right|$ [/mm]

$= \ [mm] \left| \ -1 \ \right| [/mm] * [mm] \left| \ \bruch{2n+1}{(n+1)*n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] 1*\left| \ \bruch{2n+1}{(n+1)*n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2n+1}{n*(n+1)} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \bruch{2n+\red{2}}{(n+1)*n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*(n+1)}{(n+1)*n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{n} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm]


Noch einfacher geht es natürlich durch die Anwendung der Grenzwertsätze. Dürft Ihr diese verwenden?


Gruß vom
Roadrunner


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Limetes bestimmen: zu Aufgabe 1
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:24 Di 22.11.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Nescio,


> [mm]\left|a_n - a\right| = \left|\left(\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right) \left(\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right)\right| < \varepsilon[/mm] dies kann als wahr hingenommen worden.


Und jetzt sagst Du richtig:


> [mm]\left|\left(\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right) \left(\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right)\right| = \left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right|\left|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right|[/mm]


Aber damit sind wir doch schon fertig, oder nicht? Der obige Ausdruck ist ja bereits echt kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] nach Vorraussetzung. Dann ist aber [mm]\left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right| < \varepsilon[/mm] erst Recht echt kleiner als [mm] $\varepsilon$, [/mm] da [mm]\left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right| < \left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right|\left|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right|[/mm].


Würd' ich jetzt so spontan sagen ... .



Grüße
Karl





Bezug
                
Bezug
Limetes bestimmen: Fehler in Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:10 Di 22.11.2005
Autor: leduart

Hallo Karl
> > [mm]\left|a_n - a\right| = \left|\left(\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right) \left(\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right)\right| < \varepsilon[/mm]
> dies kann als wahr hingenommen worden.
>  
>
> Und jetzt sagst Du richtig:
>  
>
> > [mm]\left|\left(\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right) \left(\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right)\right| = \left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right|\left|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right|[/mm]
>  
>
> Aber damit sind wir doch schon fertig, oder nicht? Der
> obige Ausdruck ist ja bereits echt kleiner als [mm]\varepsilon[/mm]
> nach Vorraussetzung. Dann ist aber
> [mm]\left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right| < \varepsilon[/mm] erst
> Recht echt kleiner als [mm]\varepsilon[/mm], da
> [mm]\left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right| < \left|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}\right|\left|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right|[/mm].

> Würd' ich jetzt so spontan sagen ... .

Leider zu spontan, denn   [mm]|\wurzel{a_n}+\wurzel{a}\right|[/mm] kann kleiner 1 sein!
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Limetes bestimmen: kleiner Fehler in 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Di 22.11.2005
Autor: leduart

Hallo Ne-scio
> Hallo
>
> habe ich die folgenden Aufgaben richtig gelöst?
>  
> 1.) Es sei [mm](a_{n})[/mm] eine gegen a konvergente Folge mit [mm]a_{n} \ge[/mm]
> 0 für alle [mm]n\in \IN.[/mm] Dann konvergiert ( [mm]\wurzel{a_{n}})_{n}[/mm]
> gegen  [mm]\wurzel{a}[/mm]
>  [mm]Hinweis:(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a})[/mm] (
> [mm]\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})= a_{n}-a[/mm]
>  
> z.Z.:  [mm]\forall \varepsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm]
> n  [mm]\ge[/mm] N
>           [mm]|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}|[/mm] <  [mm]\varepsilon[/mm]
>  
> Sei   [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig
>  
> NR: Aus dem Hinweis ergibt sich:
> [mm]|a_{n}- a|=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a}) (\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})|[/mm]
> <   [mm]\varepsilon[/mm]     dies kann als wahr hingenommen worden.

Als wahr hingenommen ist hier schlecht: es gilt, weil an gegen n konv. nach Vors. für alle n>N0  

> Das Produkt kann man nach Satz 2 (zu dem Absolutbetrag)
> auseinanderziehen in
>  [mm]|a_{n}- a|=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a})| |(\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>   [mm]\gdw \bruch{|a_{n}- a|}{|(\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a})|}=|(\wurzel{a_{n}}-\wurzel{a})|[/mm]
> <  [mm]\varepsilon[/mm]

hier muss auch  [mm] \varepsilon [/mm] durch [mm] (\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a}) [/mm] dividiert werden. dann solltest du noch [mm] (\wurzel{a_{n}}+\wurzel{a}) [/mm] abschätzen
und am besten das [mm] \varepsilon [/mm]  oben in |an-a|< [mm] \varepsilon [/mm] durch ein anderes ersetzen.

> Q.E.D.
>  

weitere Fehler im Folgenden:

> Aufgabe 2.
>  Bestimme den Limes der Folge: ( [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] -  
> [mm]\bruch{n+1}{n})_{n \ge1}[/mm]
>  
> z.Z.:  [mm]\forall \varepsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm]
> n  [mm]\ge[/mm] N
>           [mm]|a_{n}[/mm] - 0|= [mm]|\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>  
> Es sei  [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig
>  
> NR: [mm]|\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}|=[/mm] (in Vorlesung
> bewiesen)  [mm]|\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|[/mm]
>  
> Es lässt sich in Anlehnung an |x-y| [mm]\ge[/mm] |x| - |y| (in
> Vorlesung bewiesen) formulieren:
>  
> [mm]|\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}| \ge |\bruch{n+1}{n}|[/mm] -
> [mm]|\bruch{n}{n+1}|[/mm]

Das ist ein SEHR  schlechter Schritt, da du ja am Ende < beweisen willst hilft das vergrößern sicher nicht! ausserdem schreibst du da ja alle Ausdrücke pos sind nur Gleichheiten hin. später lässt du mit dem Argument die Absstriche ja auch weg, warum nicht gleich?

>   [mm]\gdw |\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|+|\bruch{n}{n+1}| \ge |\bruch{n+1}{n}|[/mm]

> lässt sich umdrehen in:
>   [mm]|\bruch{n+1}{n}| \le|\bruch{n+1}{n}-\bruch{n}{n+1}|+|\bruch{n}{n+1}|[/mm]
> [mm]\gdw |\bruch{n+1}{n}| \le |\bruch{(n+1)^{2} - n^{2}}{n(n+1)}|+|\bruch{n}{n+1}|[/mm]
>  
> Betragstriche können weggelassen werden, da nach
> Voraussetzung [mm]n\ge[/mm] 1 und (n+1)>n (also im Zähler nichts
> Negatives rauskommen kann)
>  [mm]\gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)^{2} - n^{2}}{n(n+1)}+\bruch{n}{n+1}[/mm]
>  
> [mm]\gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)[(n+1)^{2}-n^{2}+n^{2}]}{n(n+1)^{2}}[/mm]
>  
> [mm]\gdw |\bruch{n+1}{n}| \le \bruch{(n+1)^{2}}{n(n+1)}= \bruch{n+1}{n}=[/mm]

hier siehst du, dass du mit all dem hin und her nur [mm] |\bruch{n+1}{n}|=\bruch{n+1}{n} [/mm] rausgekriegt hast.

> 1 [mm]+\bruch{1}{n}[/mm]  <  [mm]\varepsilon[/mm]

und hier kann doch [mm] \varepsilon [/mm] nicht kleiner 1 sein!

> gilt für alle n [mm]\ge \bruch{1}{ \varepsilon-1}[/mm]

wenn [mm] \varepsilon<1 [/mm] ist    [mm] \bruch{1}{ \varepsilon-1} [/mm] negativ: also gälte das ab n=1!

> Geht das so?

Nein!
Der entscheidende Fehler lag am Anfang, wo du mit vergrößern angefangen hast. Aber den richtigen Weg hat dir ja jemand gezeigt.
Gruss leduart

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Bezug
Limetes bestimmen: Rückfrage
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 14:11 Do 24.11.2005
Autor: Nescio

Hallo
vielen Dank für die Antwort. Ich komme leider aber nicht vorwärts:(.

[mm] \bruch{|a_n-a|}{| \wurzel{a_n}+ \wurzel{a}|}=|\wurzel{a_n}- \wurzel{a}|<\bruch{\varepsilon}{|\wurzel{a_{n}}+ \wurzel{a}|} [/mm]

wie soll ich denn jetzt weitermachen? Ich verstehe nicht, wie ich N bestimmen soll.
Vielen Dnak im Voraus
liebe Grüße


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Limetes bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:00 Sa 26.11.2005
Autor: matux

Hallo Nescio!


Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .


Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent

Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.


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