Limesberechnun < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Sa 09.02.2008 | | Autor: | riddler |
| Aufgabe | d(x, y). Zeigen Sie,
Für n ∈ N sei a[n] = [mm] sqrt(n^2 [/mm] + n) − n. Zeigen Sie, dass
lim a[n](fuer n->unendlich) =1/2
Bestimmen Sie dazu zu gegebenem ε > 0 ein n[0] ∈ N mit |an − 1/2| < ε fü̈r n ≥ n[0] .
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Hi!
Ich scheine hier was falsch zu machen:
ich weiss das ein Term konvergiert wenn er sich einem Punkt beliebig naehrt sich aber nicht mehr davon entfernt.
Also kann man den Limes ueber eine offene Kugel in einem Metrischen Raum definiere.
Zu meiner schande muss ich aber gestehen das ich irgendwas bei dieser gleichung falsch mache, und ich irgendwie eine fundamentalen Fehler begehe:
Wie kriege ich die Klammer weg denn ich stehe hier bei folgendem Ergebnis:
[mm] |sqrt((n^2)-n) [/mm] -n - 1/2|< ε
[mm] |sqrt((n^2)-n) [/mm] -n|<ε+ 1/2
[mm] (sqrt((n^2) [/mm] -n) [mm] -n)^2 [/mm] < (ε + [mm] 1/2)^2
[/mm]
Eine weiterfuehrung endet darin das ich einmal ε^2+εlinks und eine Binomische Formel mit einem nette [mm] 2(sqrt((n^2)-n)n [/mm] rechts bekomme.
Fuer die umstaendliche schreibweise bitte ich um verstaendniss, habemir noch kein Latex zugelegt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg
riddler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
kleiner tipp:
Du darfst nicht einfach das (1/2) aus dem Betrag ziehen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Sa 09.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du meinst [mm] a_{n}=\wurzel{n²+n}-n, [/mm] korrekt?
Dann forme mal um:
[mm] a_{n}=\wurzel{n²+n}-n
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{n²+n}-n)(\wurzel{n²+n}+n)}{\wurzel{n²+n}+n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n²+n-n²}{\wurzel{n²+n}+n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n}{\wurzel{n²+n}+n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n*1}{\wurzel{n²(1+\bruch{1}{n})}+n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n*1}{n*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}
[/mm]
Und jetzt bilde mal den Grenzwert [mm] n\to\infty.
[/mm]
Für die Suche nach einem [mm] n_{0}:
[/mm]
[mm] \left|\wurzel{n²+n}-n-\bruch{1}{2}\right|<\varepsilon
[/mm]
Hier darfst du nicht einfach die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] aus den Betragsstrichen entfernen.
[mm] \left|\wurzel{n²+n}-n-\bruch{1}{2}\right|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw\left|\bruch{1}{(\wurzel{(1+\bruch{1}{n})}+1)}-\bruch{1}{2}\right|<\varepsilon
[/mm]
Jetzt quadriere mal somit fallen die Betragsstriche und die Wurzel weg.
Mach am Ende dann aber noch die Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.
Ach ja: Um zu sehen, wie man die Formeln hier schreibt, klicke einfach auf eine in meiner Antwort, und du erhältst den Quelltext dafür
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 09.02.2008 | | Autor: | riddler |
o.k.
Habe mir schon eine geistige Notiz gemacht nicht alles sofort auszurechnen, sondern erstmal umzuformen, damit man damit besser arbeiten kann.
Nun aber zu meiner Frage?
Wie sieht man was man wann wie umformen muss?
Ich meine eine Multiplikation mit 1 ist keien grosse Kunst aber zu sehen wie man diese 1 darstellen sollte und wann man das machen muss sind welche.
Mit freundlichem Gruss
riddler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Sa 09.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das Ziel der Umformung ist, nachher bekannte Grenzwerte zu bekommen, z.B.: [mm] \bruch{1}{n} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] etc.
Hier kann ich dann ja folgern:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Sa 09.02.2008 | | Autor: | riddler |
Also nach dem Prinzip ich forme dich solange um bis ich etwas in dir wiederfinde was ich kenne...
Vielen dank fuer deine Hilfe.
mfg
riddler
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> Wie sieht man was man wann wie umformen muss?
> Ich meine eine Multiplikation mit 1 ist keien grosse Kunst
> aber zu sehen wie man diese 1 darstellen sollte und wann
> man das machen muss sind welche.
Hallo,
ein fertiges Rezept gibt es dafür nicht.
Zu einem großen Teil ist das Erfahrungs- (also Übungs!!!-)sache.
Man versucht, wie Marius sagt, auf Bekanntes zuzusteuern.
Das, was Dir Marius gezeigt hat, ist ein Standardtrick, der so Standard ist, daß er einem irgendwann nicht mehr wie ein Trick vorkommt. Je mehr Grenzwerte man berechnet, desto schneller erreicht man diesen Zeitpunkt, ich hoffe, Du verstehst die Botschaft.
Nicht verschwiegen werden soll auch, daß man manchmal ganz schön viel Papier verbraucht, bis man endlich die zündende Idee hat und es so schön auf dem Zettelchen steht. Die ganzen Fehlversuche sieht man ja nicht mehr, wenn es in Reinschrift dasteht.
Gruß v. Angela
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