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[mm] \limes_{n \to \infty} (\bruch{\sin(x)}{x})^{\bruch{3}{x^2}}
[/mm]
Exponent: [mm] e^{\ln{\bruch{3}{x^2}} \cdot{} \ln{\bruch{\sin(x)}{x}}}
[/mm]
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{\ln{\bruch{\sin(x)}{x}}}{\bruch{1}{\ln{\bruch{3}{x^2}}}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x}{\sin(x)} \bruch{\cos(x) x - \sin{x}}{x^2}}{-1 \bruch{3}{(\ln{\bruch{3}{x^2})^2}}(-2) \bruch{1}{x^3}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{\cos(x) - \sin(x)}{\sin(x)}}{\bruch{6}{x^3 (\ln(\bruch{3}{x^2}))^2}} [/mm] = ...
Ich habe hier de L'Hospital angewendet, passt das? Habe ich bis hier her einen Rechenfehler? Wenn ja zahlt es sich wohl nicht mehr aus den Term weiter zu rechnen, weil er immer komplizierter wird...
danke!
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Hallo mathe-tu-münchen!
soll der Grenzwert hier wirklich gegen [mm] $x\rightarrow\red{\infty}$ [/mm] laufen? Dann existiert dieser Grenzwert überhaupt nicht, da diese Funktion in den (periodischen) Intervallen mit [mm] $\sin(x) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 0$ gar nicht definiert ist.
Aber auch in der Umformung in die e-Funktion hast Du ein [mm] $\ln(...)$ [/mm] zuviel drin. Das muss heißen:
[mm] $\left[\bruch{\sin(x)}{x}\right]^{\bruch{3}{x^2}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{3}{x^2} \cdot{} \ln\bruch{\sin(x)}{x}}$
[/mm]
Damit musst Du hier [mm] $\limes_{x\rightarrow \red{???}}\bruch{3*\ln\bruch{\sin(x)}{x}}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] 3*\limes_{x\rightarrow ???}\bruch{\ln[\sin(x)]-\ln(x)}{x^2}$ [/mm] betrachten.
Für [mm] $x\rightarrow \red{0}$ [/mm] habe ich de l'Hospital 3-mal angewandt und letztendlich als Grenzwert [mm] $e^{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{e}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.607$ erhalten.
Gruß vom
Roadrunner
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ich komme einfach nicht auf das Ergebnis:
[mm] 3\cdot{}\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln[\sin(x)]-\ln(x)}{x^2} [/mm] = [mm] 3\cdot{}\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}- \bruch{1}{x}}{2 x} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}\cdot{}\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}- \bruch{1}{x}}{x} [/mm]
Der Term [mm] \bruch{1}{x} [/mm] wird nie eliminiert, weil egal wie oft ich ableite entsteht ein ausdruck der unendlich wird?
ideen?
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Hallo mathe-tu-münchen!
Du bist doch auf einem guten Weg ... forme nun wie folgt um:
[mm] $\bruch{\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}- \bruch{1}{x}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{x*\cos(x)}{x*\sin(x)}- \bruch{\sin(x)}{x*\sin(x)}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x*\cos(x)-\sin(x)}{x^2*\sin(x)}$
[/mm]
Und wiederum de l'Hospital (noch 2-mal) ...
Gruß vom
Roadrunner
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habe ich gemacht:
[mm] \bruch{3}{2} \cdot{} \bruch{x\cdot{}\cos(x)-\sin(x)}{x^2\cdot{}\sin(x)} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \cdot{} \bruch{\cos(x) - x \sin(x) -\cos(x)}{2 x \sin(x) + x^2 \cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \cdot{} \bruch{ - x \sin(x)}{2 x \sin(x) + x^2 \cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \cdot{} \bruch{ - \sin(x) - x \cos(x)}{2 \sin(x) + 2 x \cos(x) + 2x \cos(x) - x^2 \sin(x)}
[/mm]
und davon der limes wenn x nach unendlich läuft = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] - irgendwie nicht ganz richtig oder?
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Hallo mathe-tu-münchen!
Hier $... \ = \ [mm] \bruch{3}{2} \cdot{} \bruch{ - x \sin(x)}{2 x \sin(x) + x^2 \cos(x)}$ [/mm] solltest Du erst $x_$ ausklammern und kürzen. Und dann erst wieder de l'Hospital ...
Gruß vom
Roadrunner
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OK, dann bekomme ich das richtige Ergebnis.
Also Notiz für mich: zur so viel wie möglich kürzen und vereinfachen und dann erst de L'Hospital.
Wieso funktioniert es eigentlich nicht, wenn man nicht kürzt?
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Hallo mathe-tu-münchen!
> Wieso funktioniert es eigentlich nicht, wenn man nicht kürzt?
Müsste es aber ... denn auch ungekürzt liegt ja ein Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vor - und nicht [mm] $\bruch{1}{0}$ [/mm] wie Du schriebst.
Gruß vom
Roadrunner
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