Limes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 So 15.11.2009 | | Autor: | Katey |
Sei [mm] a_{n} [/mm] eine konvergente Folge in [mm] \IR [/mm] mit a:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}. [/mm] Man zeige:
e= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n\wurzel[n]{(1/n!)}
[/mm]
kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine konvergente Folge in [mm]\IR[/mm] mit a:=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}.[/mm] Man zeige:
> e= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n\wurzel[n]{(1/n!)}[/mm]
> kann
> mir jemand weiterhelfen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Bitte kontrolliere deinen Aufgabentext. Das " [mm] a_n [/mm] " aus dem Vorspann taucht in der Aufgabe nicht wieder auf. Ist das okay so?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 15.11.2009 | | Autor: | Katey |
ok hier ist die ganze aufgabe:
ich habe aber schon a) und b) bearbeitet
Sei [mm] a_{n} [/mm] eine kovergente Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] a:=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}. [/mm] Man zeige
a) die Folge [mm] A_{n},A [/mm] _{n}:=1/n [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] der arithmetischen Mittel konvergiert ebenfalls gegen a.
b) Gilt [mm] a_{n}>0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] so konvergiert auch die Folge [mm] G_{n}, G_{n}:=\wurzel[n]{\produkt_{k=1}^{n}a_{k}} [/mm] der geometrischen mittel gegen a.
c) [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}n\wurzel[n]{1/n!}
[/mm]
Hinweis zu c) Wähle [mm] a_{n}= (1+1/n)^n [/mm] und betrachte [mm] a_{n+1}/a_{n}. \limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n=e [/mm] darf benutzt werden.
ich hab ja wie gesagt aufgabe a) und b) schon , nur bei c) hab ich total schwierigkeiten
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> ok hier ist die ganze aufgabe:
> ich habe aber schon a) und b) bearbeitet
>
> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine kovergente Folge in [mm]\IR[/mm] mit
> [mm]a:=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}.[/mm] Man zeige
> a) die Folge [mm]A_{n},A[/mm] _{n}:=1/n [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{k}[/mm] der
> arithmetischen Mittel konvergiert ebenfalls gegen a.
>
> b) Gilt [mm]a_{n}>0[/mm] für alle n [mm]\in \IN,[/mm] so konvergiert auch
> die Folge [mm]G_{n}, G_{n}:=\wurzel[n]{\produkt_{k=1}^{n}a_{k}}[/mm]
> der geometrischen mittel gegen a.
>
> c) [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}n\wurzel[n]{1/n!}[/mm]
> Hinweis zu c) Wähle [mm]a_{n}= (1+1/n)^n[/mm] und betrachte
> [mm]a_{n+1}/a_{n}. \limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n=e[/mm] darf
> benutzt werden.
>
> ich hab ja wie gesagt aufgabe a) und b) schon , nur bei c)
> hab ich total schwierigkeiten
Wobei?
Hast du nicht (wie empfohlen) für [mm] a_n [/mm] die Folge [mm] (1+1/n)^n [/mm] gewählt und davon den Quotienen [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] gebildet?
Hinweis: (1+1/n)=(n+1)/n
Gruß Abakus
> gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 15.11.2009 | | Autor: | Katey |
ja das habe ich gemacht und bin hier stehen geblieben:
[mm] a_{n+1}/a_{n}=((1+1/(n+1))^{n+1})/(1+1/n)^n=(((n+2)/(n+1))^{n+1})/((n+1)/n)^n
[/mm]
weiter komme ich nicht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> ja das habe ich gemacht und bin hier stehen geblieben:
>
> [mm]a_{n+1}/a_{n}=((1+1/(n+1))^{n+1})/(1+1/n)^n=(((n+2)/(n+1))^{n+1})/((n+1)/n)^n[/mm]
>
> weiter komme ich nicht
Es gilt
[mm] ((n+2)/(n+1))^{n+1}=(n+2)/(n+1) [/mm] * [mm] ((n+2)/(n+1))^n
[/mm]
Du teilst also "Faktor mal (Term hoch n)" durch einen anderen "Term hoch n".
Einen Term der Form [mm] \bruch{u^n}{v^n} [/mm] kannst du schreiben als [mm] (\bruch{u}{v})^n.
[/mm]
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 15.11.2009 | | Autor: | Katey |
ja, aber das hilft mir leider dann auch nicht weiter beid er umformung, wie kann ich denn die klammern mit hoch n loswerden, oder vereinfachen, kannst du mir nicht kurz noch weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> ja, aber das hilft mir leider dann auch nicht weiter beid
> er umformung, wie kann ich denn die klammern mit hoch n
> loswerden, oder vereinfachen, kannst du mir nicht kurz noch
> weiterhelfen?
Wozu Klammer loswerden?
Du hattest den Tipp mit e=limes ... (Klammer hoch n).
Du solltest in der entstandenen Klammer mal etwas arbeiten...
z.B. Zähler und Nenner ausmultiplizieren und den Gesamtterm auf die Form 1+ ... bringen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 15.11.2009 | | Autor: | Katey |
ok ,danke für den tipp
ichhabe jetzt das dort stehen:
(n+2)/(n+1)* [mm] (((n+2)/n)^n)/ [/mm] (((n+1)/n)* [mm] ((n+1)/n))^n
[/mm]
ich bilde jetzt den limes gegen unendlich, aber was ist denn limes [mm] ((n+2)/n)^n?????
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> ok ,danke für den tipp
> ichhabe jetzt das dort stehen:
>
> (n+2)/(n+1)* [mm](((n+2)/n)^n)/[/mm] (((n+1)/n)* [mm]((n+1)/n))^n[/mm]
>
> ich bilde jetzt den limes gegen unendlich, aber was ist
> denn limes [mm]((n+2)/n)^n?????[/mm]
Du hast doch immer noch Zähler und Nenner jeweils für sich hoch n genommen.
Bilde einen Bruch und nimm den Gesamtbruch in Klammern und die Klammern hoch n.
Dann arbeite in der Klammer.
>
>
|
|
|
|
