Liegen Vektoren in einer Ebene < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Sa 31.01.2009 | | Autor: | sdj |
| Aufgabe | | Liegen [mm] \vec v_1 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \vec v_2 \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \vec v_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] in einer Ebene? |
Stimmt dies?
Die Ebene ist eindeutig bestimmt wenn die drei Punkte nicht in einer Geraden liegen.
Ob die Punkte in einer Geraden liegen berechne ich folgendermassen.
[mm] \vec [/mm] p1p2, [mm] \vec [/mm] p1p3
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
...folglich die Punkte liegen nicht in einer Geraden. Die Vektoren liegen in einer Ebene.
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> Liegen [mm]\vec v_1 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \vec v_2 \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \vec v_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
> in einer Ebene?
> Stimmt dies?
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> Die Ebene ist eindeutig bestimmt wenn die drei Punkte nicht
> in einer Geraden liegen.
>
> Ob die Punkte in einer Geraden liegen berechne ich
> folgendermassen.
>
> [mm]\vec[/mm] p1p2, [mm]\vec[/mm] p1p3
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> ...folglich die Punkte liegen nicht in einer Geraden. Die
> Vektoren liegen in einer Ebene.
>
Hallo sdj,
Wenn hier gefragt ist, ob drei Vektoren in einer Ebene
liegen, ist wohl gemeint, ob die drei Vektoren linear
abhängig seien. Dies hat eigentlich nichts damit zu tun,
ob die entsprechenden Punkte auf einer Geraden liegen
oder nicht, sondern (wenn du überhaupt von den Punkten mit
diesen Ortsvektoren sprechen willst) ob es eine Ebene gibt,
welche den Ursprung O(0/0/0) und die drei Punkte enthält.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Sa 31.01.2009 | | Autor: | sdj |
Besten Dank für die Antwort! Dann müsste es so funktionieren?
[mm] \lambda_1 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_2 \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_2 \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 36 \end{pmatrix} [/mm] = 0
Sind nicht linear abhängig, dadurch [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] sich nur durch 0 darstellen lässt. Folglich liegen die drei Vektoren nicht in einer Ebene.
Grüsse
sdj
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Hallo sdj,
genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße,
reverend
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