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| Aufgabe | Sei [mm] p\in [/mm] K[t] ein normiertes Polynom.
Zeigen Sie:
Für [mm] f\in [/mm] K[t] gibt es eindeutig bestimmte Polynome [mm] $q,r\in$ [/mm] K[t] mit
a) $f=q*p+r$
b) $deg(r)<deg(p)$ |
Zur Eindeutigkeit:
Sei $f=q*p+r$ und $f=q'*p+r'$ mit $deg(r),deg(r')<deg(p)$ zwei Darstellungen.
$0=f-f=(q*p+r)-(q'*p-r')=(q-q')*p+(r-r')$
BIS hierhin verstehe ich es noch.
Jetzt steht in meiner Lösung:
Wäre [mm] $(q-q')\not=0$, [/mm] so müsste $deg((q-q')*p)=deg(r-r')$
Warum??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Mi 07.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]p\in[/mm] K[t] ein normiertes Polynom.
> Zeigen Sie:
>
> Für [mm]f\in[/mm] K[t] gibt es eindeutig bestimmte Polynome [mm]q,r\in[/mm] K[t] mit
> a) [mm]f=q*p+r[/mm]
> b) [mm]deg(r)
> Zur Eindeutigkeit:
>
> Sei [mm]f=q*p+r[/mm] und [mm]f=q'*p+r'[/mm] mit [mm]deg(r),deg(r')
>
> [mm]0=f-f=(q*p+r)-(q'*p-r')=(q-q')*p+(r-r')[/mm]
>
> BIS hierhin verstehe ich es noch.
>
> Jetzt steht in meiner Lösung:
>
> Wäre [mm](q-q')\not=0[/mm], so müsste [mm]deg((q-q')*p)=deg(r-r')[/mm]
>
> Warum??
Aus [mm]0=(q-q')*p+(r-r')[/mm] folgt
[mm](q-q')*p= -(r-r')[/mm]
FRED
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Ich muss doch, um die Eindeutigkeit zu zeigen sowieso ersteinmal davon ausgehen, dass [mm] $q-q'\not=0$, [/mm] damit ich später schließen kann, dass $q=q'$ ist, oder??
Nun ist doch,
[mm] $deg((q-q')*p)=deg(q-q')+deg(p)\ge [/mm] deg(p)$
und
[mm] $deg(r-r')\le max\{deg(r),deg(r')\}$
[/mm]
Wie komm ich jetzt darauf, dass [mm] $deg(r-r')\le max\{deg(r),deg(r')\} \le [/mm] deg(p)$ ist und wie komm ich darauf, dass dadurch folgt, dass $q-q'=0$ ???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 09.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Fr 09.07.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Nun ist doch,
>
> [mm] deg((q-q')*p)=deg(q-q')+deg(p)\ge{deg(p)}
[/mm]
> und
> [mm] deg(r-r')\le max\{deg(r),deg(r')\}
[/mm]
>
> Wie komm ich jetzt darauf, dass [mm] deg(r-r')\le max\{deg(r),deg(r')\}\le{deg(p)}
[/mm]
Weil deg(r)<deg(p) und deg(r')<deg(p) ist, gilt [mm] max\{deg(r),deg(r')\}
[mm] deg(p)\le{deg(r-r')}
> ist und wie komm ich darauf, dass dadurch folgt, dass
> q-q'=0 ???
Weil da oben ein Widerspruch aufgetreten ist und deswegen q=q' gelten muss. Damit gilt auch r=r'
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