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| Aufgabe | Betrachte die Polynome
[mm] p_{0} [/mm] (x) = 1, [mm] p_{1} [/mm] (x) = x, [mm] p_{2} [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (3x2 − 1).
a) Zeige für alle 0 [mm] \le [/mm] m , n [mm] \le [/mm] 2 gilt
[mm] (*)\integral_{-1}^{1}{p_{m}(x) p_{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } m \not= n \\ \bruch{2}{2n+1}, & \mbox{falls } m = n \end{cases}
[/mm]
b) Konstruire ein Polynom [mm] p_{3} [/mm] vom Grad 3, so dass (*) für
0 [mm] \le [/mm] m , n [mm] \le [/mm] 3 gilt
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Ich habe als Tipp bekommen eine Fallunterscheidung zu machen, dass das Integral für m=0,1,2 und n=0,1,2 gilt .... aber ich kann noch nicht recht was damit anfangen.
Kann vielleicht jemand kurz erklären wie ich das zu betrachten habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Do 10.07.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Betrachte die Polynome
> [mm]p_{0}[/mm] (x) = 1, [mm]p_{1}[/mm] (x) = x, [mm]p_{2}[/mm] (x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm](3x2 − 1).
> a) Zeige für alle 0 [mm]\le[/mm] m , n [mm]\le[/mm] 2 gilt
also: [mm] 0\le{m}\le{2} [/mm] und [mm] 0\le{n}\le{2}
[/mm]
> [mm](\*)\integral_{-1}^{1}{p_{m}(x) p_{n}(x) dx}[/mm] =[mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls } m \not= n \\ \bruch{2}{2n+1}, & \mbox{falls } m = n \end{cases}[/mm]
Das würde ich jetzt einfach mal ausrechnen. Da gilt:
[mm] \integral_{-1}^{1}{p_{\red{m}}(x) p_{\red{n}}(x) dx}=\integral_{-1}^{1}{p_{\red{n}}(x) p_{\red{m}}(x) dx}
[/mm]
hast du nicht viel zu tun!
1. Fall: [mm] m\not=n. [/mm] Du musst berechnen:
[mm] \integral_{-1}^{1}{p_{\red{0}}(x) p_{\red{1}}(x) dx}; \integral_{-1}^{1}{p_{\red{0}}(x) p_{\red{2}}(x) dx}; \integral_{-1}^{1}{p_{\red{1}}(x) p_{\red{2}}(x) dx}
[/mm]
2. Fall: m=n.
[mm] \integral_{-1}^{1}{p_{\red{0}}(x) p_{\red{0}}(x) dx}; \integral_{-1}^{1}{p_{\red{1}}(x) p_{\red{1}}(x) dx}; \integral_{-1}^{1}{p_{\red{2}}(x) p_{\red{2}}(x) dx}
[/mm]
Berechnen wir einmal exemplarisch
[mm] \integral_{-1}^{1}{p_{\red{0}}(x) p_{\red{0}}(x) dx}=\integral_{-1}^{1}{1*1 dx}=[x]_{-1}^{1}=1+1=2=\bruch{2}{2*\red{n}+1}, [/mm] da im jetzigen Fall m=n=0 ist [mm] \bruch{2}{2*\red{0}+1}=2. [/mm] Es stimmt also für m=n=0.
> b) Konstruire ein Polynom [mm]p_{3}[/mm] vom Grad 3, so dass (*)
> für
> 0 [mm]\le[/mm] m , n [mm]\le[/mm] 3 gilt
Das bekommst du mit den Tipps zur a) evtl. selbst hin!?
MfG barsch
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> 1. Fall: [mm]m\not=n.[/mm] Du musst berechnen:
>
> [mm][mm] \integral_{-1}^{1}{p_{\red{0}}(x) p_{\red{1}}(x) dx}
[/mm]
[mm] =1^2 [/mm] - [mm] (-1^2) [/mm] = 0 [mm]
wenn ich das brechnet habe, reicht das für diese Rechnung oder muss ich noch etwas zeigen....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Do 10.07.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> > 1. Fall: [mm]m\not=n.[/mm] Du musst berechnen:
> >
> > [mm][mm]\integral_{-1}^{1}{p_{\red{0}}(x) p_{\red{1}}(x) dx}[/mm]
[mm]=1^2[/mm] - [mm](-1)\red{^2}[/mm] = 0
> [mm][mm]wenn ich das brechnet habe, reicht das für diese Rechnung oder muss ich noch etwas zeigen....[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
du musst noch die anderen beiden Integrale berechnen:
> 1. Fall: $ [mm] m\not=n. [/mm] $ Du musst berechnen:
$ [mm] \integral_{-1}^{1}{p_{\red{0}}(x) p_{\red{1}}(x) dx}; \integral_{-1}^{1}{p_{\red{0}}(x) p_{\red{2}}(x) dx}; \integral_{-1}^{1}{p_{\red{1}}(x) p_{\red{2}}(x) dx} [/mm] $
Es soll für [mm] m\not=n [/mm] 0 das Ergebnis sein und das hast du mit deiner Rechnung zumindest für eines der Integrale gezeigt - fehlen demnach noch die beiden anderen Integrale.
MfG barsch
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| Aufgabe | > Betrachte die Polynome
> [mm]p_{0}[/mm] (x) = 1, [mm]p_{1}[/mm] (x) = x, [mm]p_{2}[/mm] (x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> (3x2 − 1).
> a) Zeige für alle 0 [mm]\le[/mm] m , n [mm]\le[/mm] 2 gilt
> [mm](*)\integral_{-1}^{1}{p_{m}(x) p_{n}(x) dx}[/mm] =
> [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls } m \not= n \\ \bruch{2}{2n+1}, & \mbox{falls } m = n \end{cases}[/mm]
>
> b) Konstruire ein Polynom [mm]p_{3}[/mm] vom Grad 3, so dass (*)
> für
> 0 [mm]\le[/mm] m , n [mm]\le[/mm] 3 gilt
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Also a) habe ich dank eurer Hilfe bereits gut lösen können...
Aber b) da hab ich durch stöbern im Internt glaube ich die Lösung herausgefunden. das Problem ist ich muss es beweisen... wie komme ich dadrauf?
Mögliche Lösung: [mm] p_{3} (x)=\bruch{1}{2}(5x^3-3x)
[/mm]
[mm] F(x)=\bruch{1}{8}x^2(5x^2-6)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 11.07.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> >
> > b) Konstruire ein Polynom [mm]p_{3}[/mm] vom Grad 3, so dass (*)
> > für
> > 0 [mm]\le[/mm] m , n [mm]\le[/mm] 3 gilt
>
>
> Also a) habe ich dank eurer Hilfe bereits gut lösen
> können...
das freut uns ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Aber b) da hab ich durch stöbern im Internt glaube ich die
> Lösung herausgefunden. das Problem ist ich muss es
> beweisen... wie komme ich dadrauf?
>
> Mögliche Lösung: [mm]p_{3} (x)=\bruch{1}{2}(5x^3-3x)[/mm]
>
> [mm]F(x)=\bruch{1}{8}x^2(5x^2-6)[/mm]
Die b) ist meines Erachtens eine Knobelaufgabe. Du musst ein wenig probieren und kommst dann bestimmt auf die Lösung. Jetzt hast du wohl schon eine Funktion gefunden für die das gelten soll.
Du scheinst aber nicht verstanden zu haben, was jetzt genau gelten soll, oder?!
Du musst bei deiner Rechnung [mm] p_3 [/mm] einbeziehen.
Lies dir die Aufgabenstellung noch einmal ganz genau durch (ich will dich nicht ärgern  - es hilft wirklich!!!)
Dann siehst du, es muss jetzt gelten:
[mm] (\*)\integral_{-1}^{1}{p_{m}(x) p_{n}(x) dx}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } m \not= n \\ \bruch{2}{2n+1}, & \mbox{falls } m = n \end{cases} [/mm]
für alle [mm] 0\le{m}\le{3} [/mm] und [mm] 0\le{n}\le{3}.
[/mm]
Du musst demnach noch berechnen:
[mm] \integral_{-1}^{1}{p_{3}(x) p_{0}(x) dx}; \integral_{-1}^{1}{p_{3}(x) p_{1}(x) dx}; \integral_{-1}^{1}{p_{3}(x) p_{2}(x) dx}
[/mm]
Dann musst du gucken, ob =0 bei allen drei Rechnungen der Fall ist.
Schließlich musst du noch
[mm] \integral_{-1}^{1}{p_{3}(x) p_{3}(x) dx} [/mm] berechnen und prüfen, ob das Ergebnis von der Form [mm] \bruch{2}{2*3+1} [/mm] ist.
Gilt das, so ist dein [mm] p_3 [/mm] eine Lösung. Gilt dies jedoch nicht, musst du wohl noch ein wenig probieren. Aber das dürfte jetzt kein Problem mehr sein?!
MfG barsch
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