Legendre-Transformation < Sonstige < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Do 12.11.2015 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Für beliebige Funktion wird eine Legendre-Transformation folgendermaßen definiert:
[mm]
g(\gamma)=\inf_{x}(f(x)-\gamma x)\quad (1)
[/mm]
Berechnen Sie die Legendre-Transformationen der folgenden Funktionen und skizzieren sowohl die Funktionen, als auch die Legendretransformierten.
a) Sei $f(x)$ differenzierbar Leiten Sie aus (1) her, dass $g(f'(x))=f(x)-xf'(x)$ gilt.
[mm] b)$f_1(x)=x^2$ [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich habe bis jetzt nicht viel zu dieser Aufgabe verstanden.
Ich habe in a) einfach mal die Definition der Legendre-Trafo eingesetzt und dann bleibt mir aber folgendes übrig, was ich noch zeigen müsste:
[mm] $\inf_{x}(f(x)-xf'(x))=f(x)-xf'(x)$.
[/mm]
Leider habe ich ein großes Problem mit dem Infimum. Ich kenne das nur in ganz einfachen Anwendungen auf Mengen oder auch auf explizite Funktionen, aber in diesem Fall weiß ich nicht viel damit anzufangen.
Analog habe ich bei b) einfach nur die Definition eingesetzt und erhalte:
[mm] $g(\gamma)=\inf_{x}x(x-\gamma)$.
[/mm]
Ich habe leider auch keine Ahnung, wie es hier weiter gehen soll.
Ich bin über jede Hilfe dankbar.
Gruß
marmik
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Do 12.11.2015 | | Autor: | hippias |
Beachte auf jeden Fall die unterschiedlichen Bedeutungn von $x$: schreibe besser [mm] $g(f'(x_{0}))= \inf_x\{f(x)-f'(x_{0})x\}$.
[/mm]
Die Behauptung, so wie Du sie formuliert hast, ist falsch. Sei etwa [mm] $f(x)=-x^{2}$ [/mm] und [mm] $x_{0}=0$. [/mm] Dann ist [mm] $g(f'(x_{0}))= [/mm] g(0)= [mm] \inf_{x}\{f(x)\}= -\infty$. [/mm] Aber [mm] $f(x_{0})-x_{0}f'(x_{0})= [/mm] 0$.
Nuetzlich fuer die korrigierte Behauptung wird vermutlich folgendes sein: [mm] $\inf_{x}\{f(x)-f'(x_{0})x\}= \inf_{x}\{f(x)-f'(x_{0})(x-x_{0})-x_{0}f'(x_{0})\}= \inf_{x}\{f(x)-f'(x_{0})(x-x_{0})\}-x_{0}f'(x_{0})$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:25 Fr 13.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Zu a) hat hippias schon das Entscheidende gesagt.
Bei b) sollst Du doch nur (bei festem [mm] \gamma) [/mm] das Infimum von
[mm] \{x^2- \gamma x: x \in \IR\}
[/mm]
bestimmen. Setzt man [mm] $p(x):=x^2- \gamma [/mm] x$, so ist der Tiefpunkt des Graphen von p zu bestimmen. Das hast Du doch in der Schule millionenfach gemacht.
Das geht auch ohne Differentialrechnung: in der Mittelstufe hast Du sicher Scheitelpunkte bei Parabeln bestimmt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Fr 13.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für beliebige Funktion wird eine Legendre-Transformation
> folgendermaßen definiert:
> [mm]
g(\gamma)=\inf_{x}(f(x)-\gamma x)\quad (1)
[/mm]
Echt ? für beliebige Funktionen ?
Tatsächlich wird folgendes geefordert:
1. f ist auf einem Intervall I in [mm] \IR [/mm] definiert.
2. f ist konvex
FRED
> Berechnen Sie
> die Legendre-Transformationen der folgenden Funktionen und
> skizzieren sowohl die Funktionen, als auch die
> Legendretransformierten.
>
> a) Sei [mm]f(x)[/mm] differenzierbar Leiten Sie aus (1) her, dass
> [mm]g(f'(x))=f(x)-xf'(x)[/mm] gilt.
>
> b)[mm]f_1(x)=x^2[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe bis jetzt nicht viel zu dieser Aufgabe
> verstanden.
> Ich habe in a) einfach mal die Definition der
> Legendre-Trafo eingesetzt und dann bleibt mir aber
> folgendes übrig, was ich noch zeigen müsste:
> [mm]\inf_{x}(f(x)-xf'(x))=f(x)-xf'(x)[/mm].
>
> Leider habe ich ein großes Problem mit dem Infimum. Ich
> kenne das nur in ganz einfachen Anwendungen auf Mengen oder
> auch auf explizite Funktionen, aber in diesem Fall weiß
> ich nicht viel damit anzufangen.
>
> Analog habe ich bei b) einfach nur die Definition
> eingesetzt und erhalte:
> [mm]g(\gamma)=\inf_{x}x(x-\gamma)[/mm].
>
> Ich habe leider auch keine Ahnung, wie es hier weiter gehen
> soll.
> Ich bin über jede Hilfe dankbar.
>
>
> Gruß
> marmik
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:07 Fr 13.11.2015 | | Autor: | hippias |
Danke fuer die Richtigstellung der Voraussetzung.
|
|
|
|
