Leere Menge unabhängig? < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Di 04.12.2012 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | Sei [mm] \Delta \cup \Theta [/mm] eine Menge aussagenlogischer Formeln. [mm] \Delta [/mm] heißt unabhängig gdw für alle [mm] \phi \in \Delta
[/mm]
[mm] \Delta \\ \{\phi\} \nvDash \phi.
[/mm]
[mm] \Delta [/mm] heißt eine Axiomatisierung von [mm] \Theta [/mm] gdw
[mm] \{ \phi : \Theta \models \phi \} [/mm] = [mm] \{ \phi : \Delta \models \phi \}
[/mm]
Hat jede Menge [mm] \Theta [/mm] aussagenlogischer Formeln hat eine unabhängige Axiomatisierung? |
Also, nach langem überlegen kam ich auf folgende Beweisidee:
Man nehme eine nichtleere Menge aussagenlogischer Formeln, die sagen wir mal, abhängig ist. Dann schmeißen wir Schritt für Schritt jede Formel weg, die die Menge abhängig macht bis sie entweder unabhängig ist oder bis sie nur noch ein Element hat.
Wenn dieses Element keine Tautologie ist, dann ist diese Menge wiederrum unabhängig.
Ist dieses Element jedoch eine Tautologie, so kann dieses Element wiederrum aus der Menge genommen werden.
Jedoch frage ich mich nun, ob die leere Menge an sich unabhängig ist? Und stimmt mein Beweis? Oder habe ich da was falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Mi 05.12.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]\Delta \cup \Theta[/mm] eine Menge aussagenlogischer
> Formeln. [mm]\Delta[/mm] heißt unabhängig gdw für alle [mm]\phi \in \Delta[/mm]
>
> [mm]\Delta \\ \{\phi\} \nvDash \phi.[/mm]
>
> [mm]\Delta[/mm] heißt eine Axiomatisierung von [mm]\Theta[/mm] gdw
>
> [mm]\{ \phi : \Theta \models \phi \}[/mm] = [mm]\{ \phi : \Delta \models \phi \}[/mm]
>
> Hat jede Menge [mm]\Theta[/mm] aussagenlogischer Formeln hat eine
> unabhängige Axiomatisierung?
> Also, nach langem überlegen kam ich auf folgende
> Beweisidee:
>
> Man nehme eine nichtleere Menge aussagenlogischer Formeln,
> die sagen wir mal, abhängig ist. Dann schmeißen wir
> Schritt für Schritt jede Formel weg, die die Menge
> abhängig macht bis sie entweder unabhängig ist oder bis
> sie nur noch ein Element hat.
>
> Wenn dieses Element keine Tautologie ist, dann ist diese
> Menge wiederrum unabhängig.
>
> Ist dieses Element jedoch eine Tautologie, so kann dieses
> Element wiederrum aus der Menge genommen werden.
>
> Jedoch frage ich mich nun, ob die leere Menge an sich
> unabhängig ist?
Ja, ist sie: Nimm das Gegenteil an und leite einen Widerspruch her.
> Und stimmt mein Beweis? Oder habe ich da
> was falsch?
Hast was falsch: Die Idee ist voellig richtig, so durchfuehrbar aber nur bei endlichen Mengen. Fuer den allgemeinen Fall benutzt man in solchen Faellen meist das Lemma von Zorn, indem etwa dieses benutzt wird, um die Existenz einer maximalen unabhaengigen Aussagenmenge zu sichern und Du von dieser dann zeigst, dass sie die gewuenschte Axiomatisierung liefert.
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