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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mo 25.11.2013 | | Autor: | petapahn |
Hallo,
ich habe Verständnisschwierigkeiten beim Lebesguemaß.
Bekanntlich ist [mm] \lambda^{1}([0;1])=1. [/mm] Man könnte aber doch [0;1] als unendliche Vereinigung von Punktmengen (die ist abzählbar da endlich, also nummerierbar) darstellen, die alle paarweise disjunkt sind. Dann würde doch die [mm] \sigma- [/mm] Additivität gelten, also:
1= [mm] \lambda([0;1])=\lambda(\bigcup_{x \in [0;1]} [/mm] {x})= [mm] \summe_{x \in [0;1]} \lambda({x})=\summe_{x \in [0;1]} [/mm] 0 = 0 --> Widerspruch
Wo liegt mein Fehler?
Gruß, petapahn
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Hiho,
> Man könnte aber doch [0;1] als unendliche Vereinigung von Punktmengen (die ist abzählbar da endlich, also nummerierbar) darstellen,
Was nun? Endlich oder abzählbar?
Wobei es eigentlich keine Rolle spielt, weil beides falsch ist.
> Wo liegt mein Fehler?
Genau da. [0,1] ist überabzählbar und damit insbesondere nicht als abzählbare Vereinigung von Punktmengen darstellbar.
Wenn du meinst doch, nur zu. Würde gern den Beweis sehen.
[mm] $\bigcup_{x\in [0,1]} \{x\}$ [/mm] ist zumindest keine abzählbare Vereinigung und damit kannst du die [mm] $\sigma$ [/mm] - Additivität darauf nicht anwenden.
Gruß,
Gono.
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