Lebesgue statt Riemann < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Do 22.01.2009 | | Autor: | suzan_7 |
Hallo,
eine frage, aus welchen gründen benötige ich das Lebesgue- statt des Riemann -intergral.
wir haben zwar beides in der vorlesung definiert, aber mir wird einfach nicht kalr wozu lebesgue, ich bin der meinung, dass alle funktionen die wir bis jetzt integriert haben, alle über riemann gehen. (v.a. weil wir alle lebesgue-integrale auf riemann zurückführen.
aber ganz umsonst ist das mit lebesgue wohl nicht, sonst würden wir es ja nicht machen.
also was vergessen ich bei meiner überlegung?? .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:41 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> eine frage, aus welchen gründen benötige ich das Lebesgue-
> statt des Riemann -intergral.
> wir haben zwar beides in der vorlesung definiert, aber mir
> wird einfach nicht kalr wozu lebesgue, ich bin der meinung,
> dass alle funktionen die wir bis jetzt integriert haben,
> alle über riemann gehen. (v.a. weil wir alle
> lebesgue-integrale auf riemann zurückführen.
> aber ganz umsonst ist das mit lebesgue wohl nicht, sonst
> würden wir es ja nicht machen.
> also was vergessen ich bei meiner überlegung?? .
die Theorien sind nicht gleich. Einiges steht in ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Lebesgue-Integral, und ansonsten würde ich dir empfehlen, z.B. einfach mal in Heuser, Lehrbuch der Analysis 2, ab S.84 zu lesen (wenn Du Glück hast, wird es bei google-books angezeigt:)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Fr 23.01.2009 | | Autor: | suzan_7 |
danke erstmal für die antwort, aber in wiki hatte ich schon nachgelesen und mit wurde es nicht klar.
gibt es funktionen die man nur mit lebesgue integrieren kann oder wozu brauche ich dieses integral??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Fr 23.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Es gibt viele, viele Funktionen, die L-integrierbar sind, aber nicht R-integrierbar
(Beispiele findest Du in den Lehrbüchern, z:B. Heuser)
Ein ganz entscheidender Nachteil des Riemann-Integrals ist der folgende:
Ist [mm] (f_n) [/mm] eine Folge R-integrierbarer Funktionen auf dem Intervall [a,b] und konvergiert [mm] (f_n) [/mm] auf [a,b] punktweise gegen f, so stellen sich 2 Fragen:
ist f wieder R-integrierbar ?
Wenn ja, gilt dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{a}^{b}{f_(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] ?
Die Antwort auf die 1. Frage ist "i.a.nein". Selbst wenn f R-int. sein sollte, muß
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{a}^{b}{f_(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm]
nicht gelten. Ist die Konvergenz allerdings gleichmäßig, so sind beide Fragen mit "ja" zu beantworten (das hattet Ihr sicherlich in der Vorlesung).
Im Hinblick auf Funktionenfolgen ist das L-Integral wesentlich leistungsfähiger.
Das werdet Ihr in der Vorlesung noch lernen. Stichwort: "Konvergenzsätze, Lemma von Fatou, Satz von Beppo-Levi, Satz von der maj. Konvergenz"
diese Sätze kannst Du Dir in Lehrbüchern ja jetzt schon mal ansehen
Grüße FRED
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