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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Alex1993 |
| Aufgabe | Auf den Strecken zwischen den Punkten (0,1) und (1,1) sowie zwischen (2,0) und (2,1) in der Ebene wird jeweils ein Punkt zufällig ausgewählt.
Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Schnitt der Verbindungsgeraden dieser zwei Punkte mit der x-Achse rechts vom Nullpunkt liegt. |
Hey
auch bei dieser Aufgabe habe ich Probleme den Löusngsweg nachzuvollziehen.
Die Musterlösung sieht so aus:
Der Schnitt liegt rechts von der X-Achse wenn [mm] x_{1} [/mm] (wird hier als x-Achse angezeigt) echt kleiner ist als [mm] 0,5x_{2} [/mm] (was hier als y-Achse angezeigt wird) oder wenn [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2}
[/mm]
W=P(A)+P(B)= [mm] \frac{\lamda^{2}(A}{1}+\frac{\lamda^{2}(B}{1}= [/mm] 0,5+0,25= 0,75
leider kann ich außer die Anwendung der Formel für P(A) und P(B) gar nichts nachvollziehen. Woher die werte kommen ist mir auch fraglich. Aber vielleicht kann mir jemand von euch helfen..
LG und danke im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Sa 10.01.2015 | | Autor: | hippias |
Ich moechte Dich bitten Dich klarer auszudruecken.
> Auf den Strecken zwischen den Punkten (0,1) und (1,1) sowie
> zwischen (2,0) und (2,1) in der Ebene wird jeweils ein
> Punkt zufällig ausgewählt.
> Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
> Schnitt der Verbindungsgeraden dieser zwei Punkte mit der
> x-Achse rechts vom Nullpunkt liegt.
> Hey
> auch bei dieser Aufgabe habe ich Probleme den Löusngsweg
> nachzuvollziehen.
> Die Musterlösung sieht so aus:
> Der Schnitt liegt rechts von der X-Achse
$x$-Achse?
> wenn [mm]x_{1}[/mm]
Was ist denn [mm] $x_{1}$?
[/mm]
> (wird
> hier als x-Achse angezeigt)
Was willst Du anzeigen?
> echt kleiner ist als [mm]0,5x_{2}[/mm]
Was ist [mm] $x_{2}$? [/mm]
> (was hier als y-Achse angezeigt wird)
S.o.
> oder wenn [mm]x_{1}[/mm] <
> [mm]x_{2}[/mm]
Das ist doch redundant: Wenn [mm] $x_{1}< 0.5x_{2}$ [/mm] gilt, so ist doch wohl erst recht [mm] $x_{1}
> W=P(A)+P(B)=
> [mm]\frac{\lamda^{2}(A}{1}+\frac{\lamda^{2}(B}{1}=[/mm] 0,5+0,25=
> 0,75
>
> leider kann ich außer die Anwendung der Formel für P(A)
> und P(B) gar nichts nachvollziehen. Woher die werte kommen
> ist mir auch fraglich. Aber vielleicht kann mir jemand von
> euch helfen..
Mir ist auch so einiges fraglich. Du malst Dir zuerst einmal die Situation auf. Dann nimmst Du zwei beliebige Punkte [mm] $P(1,y_{1})$ [/mm] und [mm] $Q(2,y_{2})$ [/mm] mit [mm] $0\leq y_{1},y_{2}\leq [/mm] 1$ und verbindest sie mit einer Geraden. Dann ueberlegst Du Dir unter welchen Voraussetzungen an [mm] $y_{1}$ [/mm] und [mm] $y_{2}$ [/mm] die Gerade die $x$-Achse rechts vom Nullpunkt schneidet. Dann sehen wir weiter.
>
> LG und danke im Vorraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 11.01.2015 | | Autor: | Alex1993 |
Hallo,
danke erstmals für die Hilfe. Ich habe mich schon ein bisschen versucht, komme aber leider nicht so richtig weiter.
Für den Fall das [mm] y_{1} [/mm] > [mm] y_{2} [/mm] liegt die Verbindungsgerade ja in jedem Fall rechts von der x-Achse. Beide Punkte haben also eine Strecke von 1 auf der sie liegen können. Somit ist P(1. Fall) doch gleich 1 oder?
Im 2. Fall mit [mm] y_{2} [/mm] > [mm] y_{1} [/mm] ist die Lage von [mm] y_{2} [/mm] beliebig. [mm] y_{1} [/mm] muss allerdings [mm] \le [/mm] 0,5 sein da sonst die Verbindungsgerade nicht mehr rechts von der x-Achse liegt. Somit beträgt P(Fall2) = 0,5
Das stimmt allerdings nicht mit den hier vorliegenden Ergebnissen überein.
Wo liegt mein Fehler?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 So 11.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> danke erstmals für die Hilfe. Ich habe mich schon ein
> bisschen versucht, komme aber leider nicht so richtig
> weiter.
> Für den Fall das [mm]y_{1}[/mm] > [mm]y_{2}[/mm] liegt die
> Verbindungsgerade ja in jedem Fall rechts von der x-Achse.
> Beide Punkte haben also eine Strecke von 1 auf der sie
> liegen können. Somit ist P(1. Fall) doch gleich 1 oder?
Moechtest Du damit sagen, dass die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass [mm] $y_{1}< y_{2}$ [/mm] gilt, gleich $1$ ist!? Das solltest Du nocheinmal genauer durchdenken. Und koenntest Du Dir bitte einmal Deine Aufgabenstellung durchlesen: da steht nichts davon, dass eine Verbindungsgerade rechts von der $x$-Achse liegen soll.
> Im 2. Fall mit [mm]y_{2}[/mm] > [mm]y_{1}[/mm] ist die Lage von [mm]y_{2}[/mm]
> beliebig. [mm]y_{1}[/mm] muss allerdings [mm]\le[/mm] 0,5 sein da sonst die
> Verbindungsgerade nicht mehr rechts von der x-Achse liegt.
> Somit beträgt P(Fall2) = 0,5
>
>
> Das stimmt allerdings nicht mit den hier vorliegenden
> Ergebnissen überein.
>
> Wo liegt mein Fehler?
In der Herleitung und Auswertung der Bedingungen.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 11.01.2015 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
nein, natürlich nicht. Aber das ändert auch nichts an meinem Verständnisproblem. Ich verstehe nicht, wie ich die einzelnen berechnen soll und noch dazu welche Möglichkeiten überhaupt zur verfügung stehen.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 11.01.2015 | | Autor: | hippias |
Fange doch so an: Es seien [mm] $P(1,y_{1})$ [/mm] und [mm] $Q(1,y_{2})$ [/mm] zwei Punkte mit [mm] $0\leq y_{i}\leq [/mm] 1$.
Stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch $P$ und $Q$ verlaeuft. Dann berechne den Schnittpunkt mit der $x$-Achse und ueberlege Dir unter welchen Umstaenden dieser rechts des Koordinatenursprungs liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 So 11.01.2015 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
ich komme dann auf die Gleichung:
[mm] f(x)=-(y_{1}+y_{2})*x+2y_{1}-y_{2}
[/mm]
wenn ich mich jetzt für den Schnitt mit der x-Achse interessiere, so berechne ich die Nullstellen. Diese liegt bei:
[mm] x=\frac{y_{2}-2y_{1}}{-(y_{1}+y_{2})}
[/mm]
damit der Schnitt rechts vom Ursprung liegt muss der Bruch also positiv sein. Das ist der Fall für:
1. [mm] y_{2}-2y_{1} [/mm] <0
2. [mm] y_{1} [/mm] < [mm] -y_{2}
[/mm]
allerdings weiß ich jetzt ehrlich gesagt nicht, was ich nun damit anfangen soll..
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 So 11.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Hey
> ich komme dann auf die Gleichung:
> [mm]f(x)=-(y_{1}+y_{2})*x+2y_{1}-y_{2}[/mm]
Deine Geradengleichung ist falsch.
> wenn ich mich jetzt für den Schnitt mit der x-Achse
> interessiere, so berechne ich die Nullstellen. Diese liegt
> bei:
> [mm]x=\frac{y_{2}-2y_{1}}{-(y_{1}+y_{2})}[/mm]
> damit der Schnitt rechts vom Ursprung liegt muss der Bruch
> also positiv sein. Das ist der Fall für:
> 1. [mm]y_{2}-2y_{1}[/mm] <0
> 2. [mm]y_{1}[/mm] < [mm]-y_{2}[/mm]
Die zweite Ungleichung kann ich ueberhaupt nicht nachvollziehen. x ist positiv, wenn Zaehler und Nenner beide positiv oder beide negativ sind.
>
> allerdings weiß ich jetzt ehrlich gesagt nicht, was ich
> nun damit anfangen soll..
Damit wirst Du die Wahrscheinlichkeit bestimmen. Ich schlage vor, nachdem Du Geradengleichung und die Nullstellenbedingung richtig bestimmt hast, dass Du die so erhaltene Punktmenge [mm] $(y_{1},y_{2})$ [/mm] skizzierst. Die gesuchte W-keit entspricht naemlich dem Flaecheninhalt dieser Punktmenge.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 12.01.2015 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
die Geradengleichung müsste stimmen. Allerdings fällt mir auf, dass du mir falsche Punkte angegeben hast. Der zweite Punkt Q ist nicht [mm] (1|y_{1}) [/mm] sondern [mm] (2|y_{1}) [/mm] laut Aufgabenstellung. Damit müsste meine Gleichung doch stimmen, oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mo 12.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Hey
> die Geradengleichung müsste stimmen. Allerdings fällt
> mir auf, dass du mir falsche Punkte angegeben hast. Der
> zweite Punkt Q ist nicht [mm](1|y_{1})[/mm] sondern [mm](2|y_{1})[/mm] laut
> Aufgabenstellung.
Richtig, mein Fehler.
> Damit müsste meine Gleichung doch
> stimmen, oder?
Nein. Z.B. weil Deine Gerade stets negative Steigung hat.
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Di 13.01.2015 | | Autor: | hippias |
Mache folgenden Ansatz: gesucht sind $m$ und $b$ mit $f(x)= mx+b$, wobei $f(1)= [mm] y_{1}$ [/mm] und $f(2)= [mm] y_{2}$ [/mm] gilt. Loese nun nach $m$ und $b$ auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 13.01.2015 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
danke für die Tipps. Ich habe jetzt eine Geradengleichung aufgestellt, Nullstellen berechnet und geprüft für welche Relationen der Bruch positiv ist.
Das ist der Fall für
1. [mm] y_{2} [/mm] > [mm] y_{1} [/mm]
2. [mm] y_{2} [/mm] < 0,5 [mm] y_{1}
[/mm]
Für den 2. Fall beträgt der Flächeninhalt 0,75. Allerdings verstehe ich die erste Realtion nicht ganz, da hier ja nahezu alle Punkte in Frage kommen. Wie ist das zu verstehen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Di 13.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Hey
> danke für die Tipps. Ich habe jetzt eine Geradengleichung
> aufgestellt, Nullstellen berechnet und geprüft für welche
> Relationen der Bruch positiv ist.
> Das ist der Fall für
> 1. [mm]y_{2}[/mm] > [mm]y_{1}[/mm]
> 2. [mm]y_{2}[/mm] < 0,5 [mm]y_{1}[/mm]
Das sieht vernueftig aus; obwohl: ich habe das Ergebnis nicht ueberprueft!
> Für den 2. Fall beträgt der Flächeninhalt 0,75.
Dem stimme ich nicht zu. Die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen heisst in Deinem Fall (Lebesgue-Mass) anschaulich den Flaecheninhalt der Mengen zu bestimmen. Zeichne dazu ein Quadrat der Seitenlaenge $1$. Die Achsen stehen fuer [mm] $y_{1}$ [/mm] bzw. [mm] $y_{2}$. [/mm] Durch diese Veranschaulichung erhaelst Du fuer die Menge, die zum Fall 2 gehoert einen anderen Wert.
> Allerdings verstehe ich die erste Realtion nicht ganz, da
> hier ja nahezu alle Punkte in Frage kommen. Wie ist das zu
> verstehen?
Kommt drauf an, was Du mit nahezu alle meinst. Wenn z.B. [mm] $y_{1}= \frac{1}{3}$ [/mm] ist, dann kann [mm] $y_{2}= \frac{1}{2}$ [/mm] oder [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] etc. sein, aber eben nicht kleiner. Veranschauliche Dir auch diese Menge: Du erhaelst ein "Dreieck".
>
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 15.01.2015 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
ich weiß nur nicht ganz, wie ich mir dies veranschaulichen soll. Das Quadrat mit 2 Achsen habe ich gezeichnet. Allerdings kann ich mir die beiden Fälle irgendwie nicht veranschaulichen. Bzw. ich kann mir keine Fläche aus den beiden fällen Konstruieren. Ich hoffe es ist nicht zu viel verlangt, aber kannst du mir vielleicht erklären, wie genau man aus solchen 2 Fällen (bzw. aus einem der beiden) eine Fläche konstruiert?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Fr 16.01.2015 | | Autor: | hippias |
Unsere Grundmenge ist [mm] $\Omega= \{(y_{1},y_{2})|0\leq y_{1},y_{2}\leq 1\}$. [/mm] Darin willst Du das Mass (anschaulich ist dies hier der Flaecheninhalt) der Menge berechnen, die durch Deine beiden Bedingungen gegeben ist.
Sei beispielsweise $A= [mm] \{(y_{1},y_{2})\in \Omega|y_{1}^{2}>y_{2}\}$. [/mm] Wenn z.B. [mm] $y_{1}=\frac{1}{2}$ [/mm] ist, dann enthaelt $A$ den Streifen [mm] $\{(\frac{1}{2},y_{2})|0\leq y_{2}< \frac{1}{4}\}$. [/mm] Insgesamt erhaelst Du so, dass $A$ der Flaeche unter der Parabel [mm] $y_{1}\mapsto y_{1}^{2}$ [/mm] entspricht.
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Hey,
danke-das hilft mir weiter. In meinem Falle ist einmal die Fläche [mm] y_{2}
[mm] \integral_{1}^{2}{1-y_{2} dy}=0,5
[/mm]
und im 2.Fall:
[mm] \integral_{1}^{2}{1-0,5y_{1}}=0,25
[/mm]
und damit ist die Wahrscheinlichkeit= 0,25+0,5=0,75
Danke, damit habe ich das verstanden hoffe ich?!
LG
Danke für die Hilfe!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 18.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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