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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Sa 24.01.2009 | | Autor: | vivo |
| Aufgabe | Sei [mm]A \subseteq [0,1] [/mm] die Menge der Zahlen x, welche sich darstellen lassen als
[mm] x = \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{a_i}{10^i}[/mm] [mm]a_i \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}.[/mm]
Berechne das Lebesgue-Maß von A. |
Hallo Leute,
zu dieser Aufgabe habe ich zwei Lösungsvarianten, die ich leider überhaupt nicht verstehe.
Lösung:
[mm]\Omega=\{0, ... , 9\}^N[/mm]
[mm]A=\Omega \backslash \{ [9] ; [a_1 , 9]; ... ; [a_1, ...., a_8 , 9] \} [/mm]
[mm] \lambda (A) = 1 - \bruch{1}{10} \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{9}{10})^i = 1 - \bruch{1}{10} \bruch{1}{\bruch{1}{10}} = 0[/mm]
oder:
[mm] A_1 = [0,9] \quad \quad L^1 (A_1) = 0,9[/mm]
[mm]L^2(A_2) = 0,9^2[/mm]
[mm]L^n(A_n) = 0,9^n[/mm]
[mm]A=\cap A_n -> lim L^n (A_n) = 0[/mm]
Vielen Dank für eure Antworten
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Zunächst mal würde ich vermuten, dass es in der Aufgabenstellung [mm]x = \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{a_i}{10^i}[/mm] heißen sollte (hab mir deine Formel angeschaut - da ist ein "Dach" über dem letzten i).
Dann ist das die Menge aller Dezimalbrüche, in denen keine 9 vorkommt. In der ersten Variante berechnet man das Maß dieser Menge, indem man vom Maß über das gesamte Intervall erstmal den Teil abzieht, der mit 0,9 beginnt. Im zweiten Schritt zieht man vom Rest wieder den Teil ab, der mit einer 9 beginnt - also [mm] [0,a_1 [/mm] 9]. Das macht man immer so weiter. Mit jedem Schritt verliert man ein Zehntel, was im Grenzwert dann 0 ergibt.
Die zweite Variante ist mir jetzt auch nicht ganz klar.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:49 Sa 24.01.2009 | | Autor: | vivo |
vielen dank, dass hilft mir schon mal deutlich weiter!
aber wie ist denn das [mm] \Omega [/mm] zu verstehen?
wenn vielleicht noch jemand was zur zweiten variante wüsste dass wäre super!
Danke
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Zu [mm] \Omega: [/mm] Die Notation ist mir auch nicht ganz klar, aber wenn im Exponenten nicht [mm]N[/mm] sondern [mm]\IN[/mm] stünde, dann wären es die dekadischen Brüche, aufgefasst als unendlich langer Vektor, wobei die i-te Komponente des Vektors der i-ten Stelle des dekadischen Bruchs entspricht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 26.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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