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Hi,
kann mir jemand eine anschauliche Erklärung des Lebesgue-Maßes geben? Aus der Definiton kann ich mir grob etwas vorstellen, aber konkret kann ich mir nichts darunter vorstellen.
"Der Wahrscheinlichkeitsraum [0,1] mit dem Lebesgue-Maß liefert ein Gegenbeispiel: Die Menge der irrationalen Zahlen hat Maß 1, aber nicht jede Zahl aus [0,1] ist irrational."
Das habe ich neulich gelesen, verstehe aber nicht welche Rolle das Lebesgue-Maß hierbei spielt.
Viele Grüße und danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 So 30.03.2008 | | Autor: | Blech |
> Hi,
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> kann mir jemand eine anschauliche Erklärung des
> Lebesgue-Maßes geben? Aus der Definiton kann ich mir grob
> etwas vorstellen, aber konkret kann ich mir nichts darunter
> vorstellen.
Das Lebesgue-Maß ist das "natürliche Maß". Es ordnet Intervallen ihre Länge und Flächen ihre Fläche zu.
Wenn Du eine Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] bzgl. des Lebesgue-Maßes integrierst, dann ist der Wert des Integrals einfach die Fläche unter dem Graphen. Der Grund da mit dem Lebesgue-Integral und damit mit dem Lebesgue-Maß zu arbeiten, sind Funktionen wie zum Beispiel
[mm] $$f:\IR\to\IR;\quad x\mapsto\begin{cases} e^{-x^2}&\text{falls }x\in\IR\setminus\IQ\\ 0&\text{falls }x\in\IQ\end{cases}$$
[/mm]
Intuitiv hat das Integral die gleiche Fläche wie das der Funktion [mm] $g:\IR\to\IR$ $x\mapsto e^{-x^2}$, [/mm] da für jede Stelle, wo f=0 ist, unendlich viele existieren, wo es den gleichen Wert hat wie g. D.h. wir ziehen nur einen unendlich kleinen Teil vom Wert des Integrals ab. Und mit dem Lebesgue-Maß erzielen wir das Ergebnis.
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> "Der Wahrscheinlichkeitsraum [0,1] mit dem Lebesgue-Maß
> liefert ein Gegenbeispiel: Die Menge der irrationalen
> Zahlen hat Maß 1, aber nicht jede Zahl aus [0,1] ist
> irrational."
Wir brauchen ein Maß, damit wir überhaupt Mengen und Intervallen einen Wert zuweisen können (d.h. wir messen sie). Das Lebesgue-Maß weißt ihnen ihre intuitive Länge zu.
Die Menge [mm] $\{x\in(\IR\setminus\IQ)\cap [0,1]\}$, [/mm] d.h. alle irrationalen Zahlen in [0,1], hat das Lebesgue-Maß 1. Die Länge des Intervalls ändert sich nicht, wenn wir einen unendlich kleinen Teil der Strecke von 0 nach 1 entfernen:
[mm] $\lambda(\{x\in(\IR\setminus\IQ)\cap [0,1]\})$
[/mm]
[mm] $=\lambda(\{x\in\IR\cap [0,1]\})-\lambda(\{x\in\IQ\cap [0,1]\})$
[/mm]
[mm] $=\lambda(\{x\in\IR\cap [0,1]\})-\lambda\left(\bigcup_{q\in\IQ\cap[0,1]}q\right)$
[/mm]
[mm] $=1-\sum_{q\in\IQ\cap[0,1]}\lambda(q)=1-0$
[/mm]
$=1$
Wir können eine beliebige Menge mit abzählbar-unendlich vielen Punkten entfernen, ohne das Maß des Intervalls zu ändern, weil überabzählbar unendlich viele Punkte verbleiben.
Ich weiß nicht, was der Kontext von dem Satz oben ist, aber grundsätzlich gilt auf anderen Räumen mit anderen Maßen das nicht, z.B. ist auf [mm] $\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] mit dem Maß [mm] $\gamma(A)=|A|$ [/mm] (d.h. ein Würfelwurf; jedes Ergebnis ist gleichwahrscheinlich) jeder Punkt bedeutend. Wenn Du aus [mm] $B=\{1,2,5,6\}$ [/mm] ein beliebiges Element rausnimmst, dann ändert sich das Maß. (Bsp. [mm] $\gamma(B)=|B|=4$; $\gamma(\{1,2,5\})=3$)
[/mm]
EDIT: Danke, es ist immer schön, wenn man hört, daß Antworten tatsächlich geholfen haben. =)
Ich hab auch ein paar Tippfehler korrigiert (zweimal waren Klammern zu viel, einmal zu wenig), die aber nicht wirklich was ausgemacht haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:37 Mo 31.03.2008 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
danke, super Erklärung. Jetzt kann ich mir was darunter vorstellen.
Grüße
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