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| Aufgabe | Betrachten Sie :
1) exp(1/z)
2) [mm] \frac{sin(z)}{z}
[/mm]
3) [mm] \frac{sin(z)}{z^8}
[/mm]
Entwickeln Sie jeweils in eine Laurentreihe und klassifizieren anhand dieser die Singularität. Bestimmen Sie auch das Residuum. |
Hallo
zu 1)
Wir wissen ja, dass $exp(z) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ [/mm] ist.
Also
$exp(1/z) [mm] =\summe_{n=0}^{\infty} \frac{(1/z)^n}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{z^{-n}}{n!}$
[/mm]
Da der Hauptteil der Laurentreihe niemals verschwindet handelt es sich bei [mm] $z_{0} [/mm] = 0$ um eine wesentliche Singularität. Das Residuum ist 1.
zu 2)
$sin(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$
[/mm]
für [mm] $\frac{sin(z)}{z} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n+1)!}$ [/mm] der Hauptteil verschwindet hier allerdings [mm] $\forall [/mm] n <0$ also handelt es sich im Punkt 0 um eine hebbare Singularität.Das Residuum ist 0.
zu 3)
für [mm] $\frac{sin(z)}{z^8} [/mm] = [mm] z^{-8}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n-7}}{(2n+1)!}
[/mm]
hier handelt es sich um einen Pol der Ordnung 3, da für n<-3 der Hauptteil verschwindet. Das Residuum ist [mm] \frac{-1}{7!}
[/mm]
Passt das so?
Vielen lieben Dank und lg
Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 So 15.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie :
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> 1) exp(1/z)
> 2) [mm]\frac{sin(z)}{z}[/mm]
> 3) [mm]\frac{sin(z)}{z^8}[/mm]
>
> Entwickeln Sie jeweils in eine Laurentreihe und
> klassifizieren anhand dieser die Singularität. Bestimmen
> Sie auch das Residuum.
> Hallo
>
> zu 1)
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> Wir wissen ja, dass [mm]exp(z) \summe_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}[/mm]
> ist.
> Also
>
> [mm]exp(1/z) =\summe_{n=0}^{\infty} \frac{(1/z)^n}{n!} = \summe_{n=0}^{\infty} \frac{z^{-n}}{n!}[/mm]
>
> Da der Hauptteil der Laurentreihe niemals verschwindet
> handelt es sich bei [mm]z_{0} = 0[/mm] um eine wesentliche
> Singularität. Das Residuum ist 1.
Ja
>
> zu 2)
>
> [mm]sin(z) = \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> für [mm]\frac{sin(z)}{z} = \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n+1)!}[/mm]
> der Hauptteil verschwindet hier allerdings [mm]\forall n <0[/mm]
> also handelt es sich im Punkt 0 um eine hebbare
> Singularität.Das Residuum ist 0.
>
Ja
> zu 3)
>
> für [mm]$\frac{sin(z)}{z^8}[/mm] =
> [mm]z^{-8}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n-7}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> hier handelt es sich um einen Pol der Ordnung 3, da für
> n<-3 der Hauptteil verschwindet
Nein,das stimmt nicht
Fred
> . Das Residuum ist
> [mm]\frac{-1}{7!}[/mm]
>
>
>
> Passt das so?
>
>
> Vielen lieben Dank und lg
>
> Peter
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> > Betrachten Sie :
> >
> > 1) exp(1/z)
> > 2) [mm]\frac{sin(z)}{z}[/mm]
> > 3) [mm]\frac{sin(z)}{z^8}[/mm]
> >
> > Entwickeln Sie jeweils in eine Laurentreihe und
> > klassifizieren anhand dieser die Singularität. Bestimmen
> > Sie auch das Residuum.
> > Hallo
> >
> > zu 1)
> >
> > Wir wissen ja, dass [mm]exp(z) \summe_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}[/mm]
> > ist.
> > Also
> >
> > [mm]exp(1/z) =\summe_{n=0}^{\infty} \frac{(1/z)^n}{n!} = \summe_{n=0}^{\infty} \frac{z^{-n}}{n!}[/mm]
>
> >
> > Da der Hauptteil der Laurentreihe niemals verschwindet
> > handelt es sich bei [mm]z_{0} = 0[/mm] um eine wesentliche
> > Singularität. Das Residuum ist 1.
>
> Ja
>
>
> >
> > zu 2)
> >
> > [mm]sin(z) = \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> >
> > für [mm]\frac{sin(z)}{z} = \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n+1)!}[/mm]
> > der Hauptteil verschwindet hier allerdings [mm]\forall n <0[/mm]
> > also handelt es sich im Punkt 0 um eine hebbare
> > Singularität.Das Residuum ist 0.
> >
>
> Ja
>
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> > zu 3)
> >
> > für [mm]$\frac{sin(z)}{z^8}[/mm] =
> > [mm]z^{-8}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> > = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n-7}}{(2n+1)!}[/mm]
> >
>
> > hier handelt es sich um einen Pol der Ordnung 3, da für
> > n<-3 der Hauptteil verschwindet
>
> Nein,das stimmt nicht
Aber es ist doch [mm] a_n [/mm] = 0 für n<-3 ... ?
>
> Fred
>
>
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>
>
> > . Das Residuum ist
> > [mm]\frac{-1}{7!}[/mm]
> >
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> > Passt das so?
> >
> >
> > Vielen lieben Dank und lg
> >
> > Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mo 16.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Betrachten Sie :
> > >
> > > 1) exp(1/z)
> > > 2) [mm]\frac{sin(z)}{z}[/mm]
> > > 3) [mm]\frac{sin(z)}{z^8}[/mm]
> > >
> > > Entwickeln Sie jeweils in eine Laurentreihe und
> > > klassifizieren anhand dieser die Singularität. Bestimmen
> > > Sie auch das Residuum.
> > > Hallo
> > >
> > > zu 1)
> > >
> > > Wir wissen ja, dass [mm]exp(z) \summe_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}[/mm]
> > > ist.
> > > Also
> > >
> > > [mm]exp(1/z) =\summe_{n=0}^{\infty} \frac{(1/z)^n}{n!} = \summe_{n=0}^{\infty} \frac{z^{-n}}{n!}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Da der Hauptteil der Laurentreihe niemals verschwindet
> > > handelt es sich bei [mm]z_{0} = 0[/mm] um eine wesentliche
> > > Singularität. Das Residuum ist 1.
> >
> > Ja
> >
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> > >
> > > zu 2)
> > >
> > > [mm]sin(z) = \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
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> >
> > >
> > > für [mm]\frac{sin(z)}{z} = \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n+1)!}[/mm]
> > > der Hauptteil verschwindet hier allerdings [mm]\forall n <0[/mm]
> > > also handelt es sich im Punkt 0 um eine hebbare
> > > Singularität.Das Residuum ist 0.
> > >
> >
> > Ja
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> > > zu 3)
> > >
> > > für [mm]$\frac{sin(z)}{z^8}[/mm] =
> > > [mm]z^{-8}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> > > = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2n-7}}{(2n+1)!}[/mm]
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> >
> > > hier handelt es sich um einen Pol der Ordnung 3, da für
> > > n<-3 der Hauptteil verschwindet
> >
> > Nein,das stimmt nicht
> Aber es ist doch [mm]a_n[/mm] = 0 für n<-3 ... ?
Schreibs doch mal aus !!!
[mm] \bruch{sin(z)}{z^8}=\bruch{1}{z^7}-\bruch{1}{3! * z^5}-+....
[/mm]
FRED
> >
> > Fred
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> >
> > > . Das Residuum ist
> > > [mm]\frac{-1}{7!}[/mm]
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> > > Passt das so?
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> > > Vielen lieben Dank und lg
> > >
> > > Peter
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Ah , dann handelt es sich wohl um einen Pol der Ordnung 7 ?
Lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Mo 16.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ah , dann handelt es sich wohl um einen Pol der Ordnung 7 ?
Ja
FRED
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> Lg Peter
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