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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 So 28.03.2010 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Hab eine Frage zu dem Beweis des Satzes über die Laurenttrennung
Also f soll holomorph sein im Kreisring [mm] K_a(r,R) [/mm] (Unnenradius r,Außenradius R)
Jetzt definiert man sich für p mit r<p<R eine Funktion [mm] f_{2,p} [/mm] auf der Kreisscheibe [mm] D_p(a) [/mm]
[mm] f_{2,p}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta -a|=p}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta.
[/mm]
Jetzt steht im Fischer-Lieb:
Für r<p<q<R gilt nach dem Cauchyschen Integralsatz [mm] f_{2,p}(z)=f_{2,q}(z) [/mm] auf [mm] D_p(a).
[/mm]
Warum gilt das ?
Man muss ja dann wohl zeigen, dass [mm] \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta=0, [/mm] wobei [mm] \gamma= \partial D_p(a) -\partial D_q(a).
[/mm]
Ist mit Cauchy Integralsatz dann der allgemeine Cauchy Integralsatz gemeint ? [mm] $\gamma$ [/mm] ist ja nullhomolog in [mm] K_a(r,R),aber [/mm]
[mm] \zeta\to \frac{f(\zeta)}{\zeta -z} [/mm] ist ja nicht holomorph auf [mm] K_a(r,R)...
[/mm]
blicke da nicht mehr durch....
Könnte mir da jemand weiterhelfen?
Würde mich freuen. Hänge total fest...
Danke
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 So 28.03.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Fry!
> Hab eine Frage zu dem Beweis des Satzes über die
> Laurenttrennung
> Also f soll holomorph sein im Kreisring [mm]K_a(r,R)[/mm]
> (Unnenradius r,Außenradius R)
> Jetzt definiert man sich für p mit r<p<R eine Funktion
> [mm]f_{2,p}[/mm] auf der Kreisscheibe [mm]D_p(a)[/mm]
>
> [mm]f_{2,p}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta -a|=p}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta.[/mm]
>
> Jetzt steht im Fischer-Lieb:
> Für r<p<q<R gilt nach dem Cauchyschen Integralsatz
> [mm]f_{2,p}(z)=f_{2,q}(z)[/mm] auf [mm]D_p(a).[/mm]
>
> Warum gilt das ?
>
>
> Man muss ja dann wohl zeigen, dass [mm]\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta=0,[/mm]
> wobei [mm]\gamma= \partial D_p(a) -\partial D_q(a).[/mm]
Genau.
> Ist mit
> Cauchy Integralsatz dann der allgemeine Cauchy Integralsatz
> gemeint ?
Was auch immer du genau damit meinst  Wie man welche Version des Cauchyschen Integralsatz bezeichnet ist ueberall anders. Es ist zumindest der mit Zykeln gemeint.
> [mm]\gamma[/mm] ist ja nullhomolog in [mm]K_a(r,R),aber[/mm]
> [mm]\zeta\to \frac{f(\zeta)}{\zeta -z}[/mm] ist ja nicht holomorph
> auf [mm]K_a(r,R)...[/mm]
Ist [mm] $K_a(r, [/mm] R)$ die Kreisscheibe mit inneren Radius $r$ und aeusseren Radius $R$ um $a$? Dann ist [mm] $\zeta \mapsto \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}$ [/mm] doch sehr wohl holomorph auf [mm] $K_a(r, [/mm] R)$; Pole hat es ja nur in $a$, ausserhalb von [mm] $D_a(R)$ [/mm] und in $z [mm] \in D_p(a)$, [/mm] und diese liegen alle nicht in [mm] $K_a(r, [/mm] R)$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 So 04.04.2010 | | Autor: | Fry |
Hey Felix,
danke für deine Antwort !
Hast vollkommen recht :), manchmal denke ich irgendwie zu kompliziert...
Lieben Gruß
Christian
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