Laurent & Residuen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:59 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
hallo, ich habe nochmal ein paar fragen zu aufgaben, die nicht aufgegangen sind. ich hoffe, dass sind jetzt so langsam die letzten, die ich zu dem thema stellen muss...
ich soll das wegintegral zu
[mm] \bruch{tanh(z)}{z^{2}(z-3)} [/mm] berechnen.
dazu wollte ich jetzt erst wieder das residuum bestimmen, habe aber wieder probleme mit der reihenentwicklung.
denn ich komme auf [mm] \bruch{1}{z(z-3)} [/mm] - [mm] \bruch{z}{z-3}+ \bruch{2z^{3}}{z-3}
[/mm]
ich sollte aber auf
- [mm] \bruch{1}{3z} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{2z}{27}+....
[/mm]
das gleiche problem habe ich bei
[mm] \bruch{sinh(z)}{z(z-\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
ich komme auf
[mm] \bruch{1}{z-\bruch{\pi}{2}} [/mm] + [mm] \bruch{z^{2}}{3!(z-\bruch{\pi}{2})} [/mm] + [mm] \bruch{z^{3}}{5!(z-\bruch{\pi}{2})}+....
[/mm]
ich will letztendlich ja nur das residuum wissen...aber so kriege ich es nicht....
mein nächstes problem ist die laurent entwicklung dieser aufgabe
[mm] \bruch{1}{1+z^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+z)(z^{2}-z+1)}
[/mm]
wie mace ich jetzt weiter? eigentlich hatte ich vor [mm] (z^{2}-z+1) [/mm] auch noch in linearfaktoren zu zerlegen. aber das kommt mir irgendwie falsch vor. bleibt das so? mache ich dann mit dem bruch eine partialbruchzerlegung?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Fr 08.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> hallo, ich habe nochmal ein paar fragen zu aufgaben, die
> nicht aufgegangen sind. ich hoffe, dass sind jetzt so
> langsam die letzten, die ich zu dem thema stellen muss...
>
>
> ich soll das wegintegral zu
> [mm]\bruch{tanh(z)}{z^{2}(z-3)}[/mm] berechnen.
Toll ! Über welchen Weg soll denn integriert werden ? Warum behältst Du das für Dich ?
> dazu wollte ich jetzt erst wieder das residuum bestimmen,
Wieder: Toll ! um welchen Punkt gehts denn ? Residuum in welchem Punkt ?
> habe aber wieder probleme mit der reihenentwicklung.
>
>
> denn ich komme auf [mm]\bruch{1}{z(z-3)}[/mm] - [mm]\bruch{z}{z-3}+ \bruch{2z^{3}}{z-3}[/mm]
>
> ich sollte aber auf
>
> - [mm]\bruch{1}{3z}[/mm] - [mm]\bruch{1}{9}[/mm] + [mm]\bruch{2z}{27}+....[/mm]
>
>
> das gleiche problem habe ich bei
>
> [mm]\bruch{sinh(z)}{z(z-\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> ich komme auf
> [mm]\bruch{1}{z-\bruch{\pi}{2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{z^{2}}{3!(z-\bruch{\pi}{2})}[/mm] +
> [mm]\bruch{z^{3}}{5!(z-\bruch{\pi}{2})}+....[/mm]
>
>
> ich will letztendlich ja nur das residuum wissen...aber so
> kriege ich es nicht....
Nochmal: Toll ! Wieder: welcher Punkt ?
>
> mein nächstes problem ist die laurent entwicklung dieser
> aufgabe
>
> [mm]\bruch{1}{1+z^{3}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1+z)(z^{2}-z+1)}[/mm]
> wie mace ich jetzt weiter? eigentlich hatte ich vor
> [mm](z^{2}-z+1)[/mm] auch noch in linearfaktoren zu zerlegen. aber
> das kommt mir irgendwie falsch vor. bleibt das so? mache
> ich dann mit dem bruch eine partialbruchzerlegung?
Schon wieder : Toll ! laurent entwicklung um welchen Punkt ? Welcher Kreisring ?
FRED
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Vicky89 |
> > hallo, ich habe nochmal ein paar fragen zu aufgaben, die
> > nicht aufgegangen sind. ich hoffe, dass sind jetzt so
> > langsam die letzten, die ich zu dem thema stellen muss...
> >
> >
> > ich soll das wegintegral zu
> > [mm]\bruch{tanh(z)}{z^{2}(z-3)}[/mm] berechnen.
>
>
> Toll ! Über welchen Weg soll denn integriert werden ?
> Warum behältst Du das für Dich ?
Berechnen sie folgende Integrale:
[mm] \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{tanh(z)}{z^{2}(z-3)} dz} [/mm]
>
> > dazu wollte ich jetzt erst wieder das residuum bestimmen,
>
>
>
> Wieder: Toll ! um welchen Punkt gehts denn ? Residuum in
> welchem Punkt ?
>
>
> > habe aber wieder probleme mit der reihenentwicklung.
> >
> >
> > denn ich komme auf [mm]\bruch{1}{z(z-3)}[/mm] - [mm]\bruch{z}{z-3}+ \bruch{2z^{3}}{z-3}[/mm]
>
> >
> > ich sollte aber auf
> >
> > - [mm]\bruch{1}{3z}[/mm] - [mm]\bruch{1}{9}[/mm] + [mm]\bruch{2z}{27}+....[/mm]
> >
> >
> > das gleiche problem habe ich bei
> >
> > [mm]\bruch{sinh(z)}{z(z-\bruch{\pi}{2}}[/mm]
> >
> > ich komme auf
> > [mm]\bruch{1}{z-\bruch{\pi}{2}}[/mm] +
> > [mm]\bruch{z^{2}}{3!(z-\bruch{\pi}{2})}[/mm] +
> > [mm]\bruch{z^{3}}{5!(z-\bruch{\pi}{2})}+....[/mm]
> >
> >
> > ich will letztendlich ja nur das residuum wissen...aber so
> > kriege ich es nicht....
>
>
> Nochmal: Toll ! Wieder: welcher Punkt ?
>
[mm] \integral_{|z|=2}^{}{\bruch{sinh(z)}{z(z-\bruch{\pi}{2}}dz}
[/mm]
> >
> > mein nächstes problem ist die laurent entwicklung dieser
> > aufgabe
> >
> > [mm]\bruch{1}{1+z^{3}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1+z)(z^{2}-z+1)}[/mm]
> > wie mace ich jetzt weiter? eigentlich hatte ich vor
> > [mm](z^{2}-z+1)[/mm] auch noch in linearfaktoren zu zerlegen. aber
> > das kommt mir irgendwie falsch vor. bleibt das so? mache
> > ich dann mit dem bruch eine partialbruchzerlegung?
>
>
> Schon wieder : Toll ! laurent entwicklung um welchen
> Punkt ? Welcher Kreisring ?
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im Kreisring {z | |z|<1}
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> FRED
> >
> > Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 09.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > > hallo, ich habe nochmal ein paar fragen zu aufgaben, die
> > > nicht aufgegangen sind. ich hoffe, dass sind jetzt so
> > > langsam die letzten, die ich zu dem thema stellen muss...
> > >
> > >
> > > ich soll das wegintegral zu
> > > [mm]\bruch{tanh(z)}{z^{2}(z-3)}[/mm] berechnen.
> >
> >
> > Toll ! Über welchen Weg soll denn integriert werden ?
> > Warum behältst Du das für Dich ?
>
> Berechnen sie folgende Integrale:
>
> [mm]\integral_{|z|=2}^{}{\bruch{tanh(z)}{z^{2}(z-3)} dz}[/mm]
>
> >
> > > dazu wollte ich jetzt erst wieder das residuum bestimmen,
OK. Zunächst einmal musst du die Singularitäten des Integranden im Inneren des vom Integrationsweg begrenzten Gebietes finden. Der Nenner hat Nullstellen bei 0 und 3, von denen nur 0 im Inneren liegt. Bleibt noch die Frage nach den Singularitäten des tanh.
[mm] \tanh z = \bruch{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}} [/mm] ,
Zähler und Nenner für sich sind holomorphe Funktionen, also hat tanh überall dort eine Singularität, wo der Nenner gleich 0 ist. Die Singularitäten ergeben sich also aus
[mm] e^z+e^{-z} = 0 \gdw e^{2z} = -1 \gdw 2z = \pi i + 2\pi i k \gdw z = i\bruch{\pi}{2} (2k + 1) [/mm], $k [mm] \in \IZ [/mm] $ ,
also bei allen ungradzahligen Vielfachen von [mm] $i\bruch{\pi}{2} [/mm] $.
Von diesen liegen zwei, nämlich [mm] $\pm [/mm] i [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] innerhalb des Kreises $|z|=2$.
Es gibt also insgesamt drei Singularitäten, an denen du die Residuen berechnen musst:
[mm] z_1 = 0[/mm], [mm] z_2= i \bruch{\pi}{2}[/mm], [mm] z_3= -i \bruch{\pi}{2}[/mm].
Im ersten Fall handelt es sich (wegen des Faktors [mm] $\bruch{1}{z^2}$) [/mm] um eine Polstelle 2. Ordnung, für die gilt
[mm] \mathop{\mathrm{Res}}_{z_0} f(z) = \limes_{z\to z_0} \bruch{d}{dz}((z-z_0}) f(z)) [/mm].
Eingesetzt:
[mm] \mathop{\mathrm{Res}}_{0} \bruch{\tanh(z)}{z^{2}(z-3)} =\limes_{z\to 0} \bruch{d}{dz} \bruch{\tanh(z)}{z-3} = \limes_{z\to 0} \left(\bruch{1}{(z-3)\cosh^2 z} - \bruch{\tanh z}{(z-3)^2}\right) = -\bruch{1}{3} [/mm] .
Für die anderen beiden Punkte hilft dir die Identität
[mm] \tanh\left( z\pm i \bruch{\pi}{2}\right) = \coth z [/mm] .
Denn daraus siehst du, dass (a) die Residuen an den Punkten [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] gleich sind, (b) es sich um Pole 1. Ordnung handelt, und (c) dass durch Verschiebung um $i [mm] \bruch{\pi}{2}\right$ [/mm] gilt
[mm] \mathop{\mathrm{Res}}_{z_1} = \limes_{z\to z_1} ((z-z_1) \tanh z) = \limes_{z\to 0} (z\tanh\left( z+ i \bruch{\pi}{2}\right) = \limes_{z\to 0} (z \coth z) = 0[/mm],
weil coth eine ungerade Funktion ist. (Daher treten in der Laurentreihe von [mm] $\coth [/mm] z$ um 0 nur ungerade Potenzen von z auf, also in der Laurentreihe von $z [mm] \coth [/mm] z$ um 0 nur gerade Potenzen von z, also ist der Koeffizient von [mm] $z^{-1}$ [/mm] gleich 0.)
Daher trägt nur das Residuum an der Stelle [mm] $z_0=0$ [/mm] bei, und es ist
[mm]\integral_{|z|=2}^{}{\bruch{\tanh(z)}{z^{2}(z-3)} dz} = 2\pi i \mathop{\mathrm{Res}}_{z_0} f(z) = -\bruch{2\pi i}{3} .[/mm]
> > Wieder: Toll ! um welchen Punkt gehts denn ? Residuum in
> > welchem Punkt ?
> >
> >
> > > habe aber wieder probleme mit der reihenentwicklung.
> > >
> > >
> > > denn ich komme auf [mm]\bruch{1}{z(z-3)}[/mm] - [mm]\bruch{z}{z-3}+ \bruch{2z^{3}}{z-3}[/mm]
Das kann nicht sein: du hast rechts Potenzen von [mm] $\bruch{1}{z}$ [/mm] und von [mm] $\bruch{1}{z-3}$. [/mm] Bei einer Laurententwicklung gibt es nur einen Entwicklungspunkt
> > >
> > > ich sollte aber auf
> > >
> > > - [mm]\bruch{1}{3z}[/mm] - [mm]\bruch{1}{9}[/mm] + [mm]\bruch{2z}{27}+....[/mm]
Du willst also um $z=0$ entwickeln. Dann musst du aber auch [mm] $\bruch{1}{z-3}$ [/mm] also Reihe um $z=0$ darstellen. Das machst du über die geometrische Reihe:
[mm] \bruch{1}{z-3} = -\bruch{1}{3} \bruch{1}{1-(z/3)} = -\bruch{1}{3} \summe_{k=0}^\infty \left(\bruch{-z}{3}\right)^k = -\bruch{1}{3}\left(1-\bruch{z}{3}+\bruch{z^2}{9} - \bruch{z^3}{27} + \dots\right)[/mm],
[mm] \bruch{-z}{3}
[/mm]
die in einem Kreis vom Radius 3 um den Ursprung konvergiert. (Beachte, dass die Singularität $z=3$ gerade nicht mehr im Konvergenzgebiert liegt!)
Der Tangens hat um 0 die Taylorentwicklung
[mm] \tanh z = z - \bruch{1}{3} z^3 + \bruch{2}{15} z^5 + \dots [/mm] .
Also ist
[mm] \bruch{\tanh(z)}{z^{2}(z-3)} = \bruch{\tanh z}{z^2} * \bruch{1}{z-3} = \left(\bruch{1}{z} - \bruch{1}{3} z + \bruch{2}{15} z^3 + \dots\right)* \left(-\bruch{1}{3}\right)\left(1-\bruch{z}{3}+\bruch{z^2}{9} - \bruch{z^3}{27} + \dots\right) [/mm]
Ausmultiplikation der ersten Terme ergibt
[mm] \bruch{\tanh(z)}{z^{2}(z-3)} = -\bruch{1}{3z} +\bruch{1}{9} + \bruch{z}{9} - \bruch{z}{27} + \dots [/mm]
und damit die gesuchte Form.
Probier das zweite Integral mal auf die gleiche Weise.
Viele Grüße
Rainer
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