Laplace experiment < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Di 03.02.2015 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Neun Personen besteigen einen Zug mit drei Wagen.Jede Person wählt zufällig und unabhängig von der anderen person einen Wagen. Wie groß ist unter geeigneter Laplace-Annahme die W'keit dafür,dass
$a)$ genau drei personen in den ersten Wagen steigen?
$b) $ jeweils drei personen in jeden Wagen steigen
$c) $ die neun personen sich in gruppen zu zwei,drei und vier personen auf die drei wagen aufteilen? |
Allgemein.
da es ja drei Wagen gibt ,ist die Möglichkeit für jede einzelne Person [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] einen Wagen zu wählen.
$a)$ genau drei personen in den ersten Wagen steigen?
$ Lsg.: [mm] \frac{1}{3}*\frac{1}{3}*\frac{1}{3} [/mm] =( [mm] \frac{1}{3})^3= \frac{1}{27}$ [/mm]
die chance ,dass genau drei personen in den Ersten wagen gehen liegt bei
[mm] $\frac{1}{27}$ [/mm]
$b) $ jeweils drei personen in jeden Wagen steigen
[mm] $\frac{9}{3}*\frac{8}{3}*\frac{7}{3}= \frac{56}{3}$
[/mm]
$c) $ die neun personen sich in gruppen zu zwei,drei und vier personen auf die drei wagen aufteilen?
[mm] $\frac{2}{9}*\frac{3}{7}*\frac{4}{4}= \frac{2}{2}
[/mm]
ist das so korrekt?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Di 03.02.2015 | | Autor: | Fulla |
Hallo LGS!
> Neun Personen besteigen einen Zug mit drei Wagen.Jede
> Person wählt zufällig und unabhängig von der anderen
> person einen Wagen. Wie groß ist unter geeigneter
> Laplace-Annahme die W'keit dafür,dass
>
> [mm]a)[/mm] genau drei personen in den ersten Wagen steigen?
>
> [mm]b)[/mm] jeweils drei personen in jeden Wagen steigen
>
> [mm]c)[/mm] die neun personen sich in gruppen zu zwei,drei und vier
> personen auf die drei wagen aufteilen?
> Allgemein.
>
> da es ja drei Wagen gibt ,ist die Möglichkeit für jede
> einzelne Person [mm]\frac{1}{3}[/mm] einen Wagen zu wählen.
>
> [mm]a)[/mm] genau drei personen in den ersten Wagen steigen?
>
> [mm]Lsg.: \frac{1}{3}*\frac{1}{3}*\frac{1}{3} =( \frac{1}{3})^3= \frac{1}{27}[/mm]
>
> die chance ,dass genau drei personen in den Ersten wagen
> gehen liegt bei
> [mm]\frac{1}{27}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du musst (unter anderem) die restlichen sechs Personen berücksichtigen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen, einen davon ist, mit der Binomialverteilung zu rechnen. Du hast n=9 Personen, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass k=3 ausgewählte Personen sich mit p=1/3 für Wagen 1 entscheiden.
> [mm]b)[/mm] jeweils drei personen in jeden Wagen steigen
>
>
> [mm]\frac{9}{3}*\frac{8}{3}*\frac{7}{3}= \frac{56}{3}[/mm]
Da diese "Wahrscheinlichkeit" größer als 1 ist, kann ja schonmal was nicht stimmen...
Hier kannst du z.B. "günstige Möglichkeiten / Gesamtzahl der Möglichkeiten" verwenden. Die Gesamtzahl ist einfach: jede der 9 Personen hat die Auswahl aus 3 Wägen, das sind [mm]3^9[/mm] Möglichkeiten. Die günstigen Möglichkeiten sind die mit genau drei Personen pro Wagen: Für Wagen 1 wählen wir 3 Leute aus, das sind [mm]\binom 93[/mm] Möglichkeiten, für Wagen 2 gibt es dann [mm]\binom 63[/mm] Möglichkeiten...
> [mm]c)[/mm] die neun personen sich in gruppen zu zwei,drei und vier
> personen auf die drei wagen aufteilen?
>
> [mm]\frac{2}{9}*\frac{3}{7}*\frac{4}{4}= \frac{2}{2}[/mm]
>
> ist das so korrekt?
Nein. (Auch [mm]\frac{2}{21}[/mm] statt [mm]\frac 22[/mm] stimmt nicht.)
Die Teilaufgabe funktioniert ähnlich wie b)
Wähle 2 aus 9 Personen für Wagen 1, 3 für Wagen 2 und 4 für Wagen 3. Beachte aber, dass es mehrere Möglichkeiten für die Reihenfolge der Wagen gibt, z.B. 2/3/4, 3/2/4 oder 4/3/2...
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Di 03.02.2015 | | Autor: | LGS |
hallo:)
ja ich dussel, ich hab gedacht man dürfte nur laplace verwenden..:/
okay $ a) $
[mm] $B_{9,\frac{1}{3}}= \binom{9}{3}\cdot{}(\frac{1}{3})^3\cdot{}(\frac{2}{3})^6 \approx [/mm] 27,31 [mm] \%$
[/mm]
$b)$ $N= 9 , K=3 ,n=3,k=3$ ich nehme hypergeometrische Verteilung hier.
da es ersten mit Reihenfolge bzw.ohne zurücklegen ist.
$P(X=3)= [mm] \frac{\binom{3}{3}\cdot{}\binom{6}{0}}{\binom{9}{3}}= \frac{1}{84} \approx [/mm] 1,19 [mm] \%$
[/mm]
ist das soweit richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Di 03.02.2015 | | Autor: | Fulla |
> hallo:)
>
> ja ich dussel, ich hab gedacht man dürfte nur laplace
> verwenden..:/
>
> okay [mm]a)[/mm]
>
>
> [mm]B_{9,\frac{1}{3}}= \binom{9}{3}\cdot{}(\frac{1}{3})^3\cdot{}(\frac{2}{3})^6 \approx 27,31 \%[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Jo, passt.
> [mm]b)[/mm] [mm]N= 9 , K=3 ,n=3,k=3[/mm] ich nehme hypergeometrische
> Verteilung hier.
>
> da es ersten mit Reihenfolge bzw.ohne zurücklegen ist.
>
>
> [mm]P(X=3)= \frac{\binom{3}{3}\cdot{}\binom{6}{0}}{\binom{9}{3}}= \frac{1}{84} \approx 1,19 \%[/mm]
>
>
> ist das soweit richtig?
Ich denke nicht, dass du mit der hypergeometrischen Verteilung hier weiter kommst.
Oben habe ich doch schon [mm]\frac{\binom 93 \cdot\binom 63\cdot\binom 33}{3^9}[/mm] vorgeschlagen...
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 03.02.2015 | | Autor: | LGS |
was ist dass den eigentlich für eine Verteilung bei der $b)$?
bei der $c)$ habe ich
[mm] $\frac{ \binom 94 \cdot\binom 53 \cdot\binom 22}{3^9}$
[/mm]
,weil man ja hier die $3$ gruppen auch als $3$ personen ansehen kann und deshalb es auch für jede Gruppe $3$ mögliche wagen gibt und es $3$ gruppen sind also [mm] $3^9 [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Di 03.02.2015 | | Autor: | Fulla |
> was ist dass den eigentlich für eine Verteilung bei der
> [mm]b)[/mm]?
Hmm... Von einer speziellen "Verteilung" würde ich da nicht sprechen. Ich würde es eher in Richtung mehrstufiges Zufallsexperiment einordnen.
[mm]\underbrace{\binom 93}_{\text{Auswahl von 3 Leuten}} \cdot \underbrace{\frac{1}{3^3}}_{\text{W.keit für Wagen 1}} \cdot \underbrace{\binom 63}_{\text{Auswahl von 3 Leuten}} \cdot \underbrace{\frac{1}{3^3}}_{\text{W.keit für Wagen 2}}\cdot \underbrace{\binom 33}_{\text{Auswahl von 3 Leuten}} \cdot \underbrace{\frac{1}{3^3}}_{\text{W.keit für Wagen 3}}[/mm]
> bei der [mm]c)[/mm] habe ich
>
> [mm]\frac{ \binom 94 \cdot\binom 53 \cdot\binom 22}{3^9}[/mm]
>
>
> ,weil man ja hier die [mm]3[/mm] gruppen auch als [mm]3[/mm] personen ansehen
> kann und deshalb es auch für jede Gruppe [mm]3[/mm] mögliche wagen
> gibt und es [mm]3[/mm] gruppen sind also [mm]3^9[/mm]
Nicht ganz. So ist es die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 4 Personen im 1. Wagen, 3 Personen im 2. Wagen und 2 Personen im 3. Wagen sind. Es gibt aber [mm]3!=6[/mm] Möglichkeiten, die Gruppen auf die Wägen zu verteilen - dieser Faktor fehlt noch.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 03.02.2015 | | Autor: | LGS |
Hi fulla,
dann muss es [mm] 6^9 [/mm] sein da es ja für insgesammt 6 verschiede variationen gibt!
$ [mm] \frac{ \binom 94 \cdot\binom 53 \cdot\binom 22}{6^9} \approx [/mm] 0,01 [mm] \% [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Di 03.02.2015 | | Autor: | Fulla |
> Hi fulla,
>
> dann muss es [mm]6^9[/mm] sein da es ja für insgesammt 6 verschiede
> variationen gibt!
>
>
> [mm]\frac{ \binom 94 \cdot\binom 53 \cdot\binom 22}{6^9} \approx 0,01 \%[/mm]
Hallo nochmal,
nein, es muss das Sechsfache von dem sein, was du oben geschrieben hast, also
[mm]\frac{\binom 96\binom 63\binom 33}{3^9}\cdot 3![/mm]
(Übrigens: Die Aufgabe schein ja weit verbreitet zu sein. Google spuckt bei "9 Personen 3 Wägen Wahrscheinlichkeit" Seiten mit ganz ähnlicher, wenn sogar identischer Aufgabenstellung aus.)
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Di 03.02.2015 | | Autor: | LGS |
mhh es war ne altklausur aufgabe von unserem Prof. die war von 1998 sind immer 17 jahre:D da hab ich ja ordentlich was in den Sand gesetzt trotzdem vielen dank für deine Hilfe!!!
|
|
|
|
