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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Laplace- Transformierten folgender Funktionen:
(a) f(t)=sinh(t)-sin(t)
(b) [mm] g(t)=(t-1)^{2}e^{-2t}. [/mm] |
Hallo Community,
ich beziehe mich zunächst nur auf den Aufgabenteil (a). Um die Laplace- Transformierte aus (a) zu bestimmen, gehe ich folgendermaßen vor:
L(sinh(t)-sin(t))=L(sinh(t))-L(sin(t))
Nun würde ich beide Summanden getrennt voneinander integrieren. Das erste Integral würde also lauten
[mm] \integral_{0}^{\infty}{sinh(t)*e^{-st} dt}
[/mm]
Das sieht nun nach einem recht schwierigen Integral aus. Möglicherweise würde es mit Hilfe der Substitutionsregel und anschließender partiellen Integration zu lösen sein.
Jetzt habe ich aber gelesen, dass die Laplace- Transformation lediglich eine Art Hilfsmittel sei, um Differentialgleichungssysteme schneller lösen zu können. In der Musterlösung meines Aufgabenblattes wird auch sofort ohne Zwischenschritte die Lösung angegeben.
Daher meine Frage:
(1) Gibt es beim obigen Integral einen Trick, um das Ganze schneller zu lösen?
Über eine hilfreiche Antwort würde ich mich freuen. Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcel!
Wende doch al die Definition von [mm] $\sinh(t)$ [/mm] an und fasse dann zusammen bevor Du integrierst:
[mm] $$\blue{\sinh(t)}*e^{-s*t} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{1}{2}*\left(e^t-e^{-t}\right)}*e^{-s*t} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 18.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Loddar!
Vielen Dank, ich gehe dann also folgendermaßen vor
(1) [mm] \bruch{1}{2}(e^{t}-\bruch{1}{e^{t}})\bruch{1}{e^{st}}, [/mm] mit [mm] s,t\in\IR
[/mm]
(2) [mm] \gdw \bruch{1}{2}(e^{t-st}-e^{-t-st}) [/mm]
Wir stellen das Integral auf und erhalten
(3) [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{t-st}-e^{-t-st} dt}
[/mm]
(4) [mm] \gdw \bruch{1}{2}\limes_{r\rightarrow\infty}(\underbrace{\bruch{1}
{1-s}e^{t(1-s)}}_{s>1}+\underbrace{\bruch{1}{1+s}e^{-t(1+s)}}_{s>(-1)})|^{r}_{0}
[/mm]
(5) [mm] \gdw -\bruch{1}{2}(\bruch{1}{1-s}+\bruch{1}{1+s}), [/mm] für [mm] s\not=1 [/mm]
Wir fassen die Brüche zusammen und verwenden das dritte Binom. Es ergibt sich
(6) [mm] -\bruch{1}{2}(\bruch{1+b+1-b}{1-s^{2}}), [/mm] mit [mm] s\not=(\pm1)
[/mm]
(7) [mm] \gdw \bruch{1}{s^{2}-1}, [/mm] mit [mm] s\not=(\pm1)
[/mm]
Das wäre nun also die Laplace- Transformierte für die Hyperbelfunktion sinh(t). Für ein "Hilfswerkzeug", welches die Laplace- Transformation sein soll, war der Aufwand aber doch relativ groß. Gibt es eventuell noch einen schnelleren Weg oder gar einen Trick? Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Hallo Loddar!
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> Vielen Dank, ich gehe dann also folgendermaßen vor
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> [mm]\bruch{1}{2}(e^{t}-\bruch{1}{e^{t}})\bruch{1}{e^{st}},[/mm] mit
> [mm]s,t\in\IR[/mm]
>
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}(e^{t-st}-e^{-t-st})[/mm]
>
>
>
> Wir stellen das Integral auf und erhalten
>
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{t-st}-e^{-t-st} dt}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}\limes_{r\rightarrow\infty}(\underbrace{\bruch{1}{1-s}e^{t(1-s)}}_{\limes_{r\rightarrow\infty}=\bruch{1}{1-s},mit s\to1}\bruch{1}{1+s}e^{-t(1+s)})|^{r}_{0}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw -\bruch{1}{2}(\bruch{1}{1-s}+\bruch{1}{1+s}),[/mm] für
> [mm]s\to1[/mm] (Darf man das so schreiben? Ich möchte ja nicht durch
> 0 dividieren.)
>
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>
> Wir fassen die Brüche zusammen und verwenden das dritte
> Binom. Es ergibt sich
>
>
> [mm]-\bruch{1}{2}(\bruch{1+b+1-b}{1-s^{2}})[/mm]
>
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{s^{2}-1}[/mm]
>
>
>
> Das wäre nun also die Laplace- Transformierte für die
> Hyperbelfunktion sinh(t). Für ein "Hilfswerkzeug", welches
> die Laplace- Transformation sein soll, war der Aufwand aber
> doch relativ groß. Gibt es eventuell noch einen schnelleren
> Weg oder gar einen Trick? Gruß,
>
Für die Laplace-Transformation gibt es ![[]](/images/popup.gif) Korrespondenztabellen.
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> Marcel
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Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Do 18.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Mh, vielen Dank.
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