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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Fr 19.07.2013 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Man schreibe die folgenden Ausdrücke in der Form $f(h) = [mm] O(h^p)$, [/mm] für $h [mm] \searrow [/mm] 0$ mit möglichst großem $p [mm] \in \IN$, [/mm] bzw. $g(n) = [mm] O(n^q)$ [/mm] für $n [mm] \nearrow \infty$ [/mm] mit möglichst kleinem [mm] $q\in\IN$:
[/mm]
a) $f(h) = [mm] 4(h^2+h)^2-4h^4$
[/mm]
b) $g(n) = [mm] 4(n^2+n)^2-4n^4$ [/mm]
... |
Hallo
Ich habe solch eine Aufgabe noch nie gelöst, kann mir da jemand einen Tipp geben?
Ich kann den Ausdruck umformen zu $f(h) = [mm] 8h^3+4h^2$
[/mm]
Die Definition lautet:
$f(h) = [mm] O(h^p)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] für kleine [mm] $h\in [/mm] (0, [mm] h_0]$ [/mm] mit einer Konstanten $c [mm] \leq [/mm] 0$ gilt: $|f(h)| [mm] \leq [/mm] c [mm] |h^p|$
[/mm]
Was ist überhaupt die Aufgabe? Muss ich das $c$ finden? Oder das $p$?
Vielen Dank
EDIT: Schreibfehler entfernt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Man schreibe die folgenden Ausdrücke in der Form [mm]f(h) = O(h^p)[/mm],
> für [mm]h \searrow 0[/mm] mit möglichst großem [mm]p \in \IN[/mm], bzw.
> [mm]g(n) = O(n^q)[/mm] für [mm]n \nearrow \infty[/mm] mit möglichst kleinem
> [mm]q\in\IN[/mm]:
>
> a) [mm]f(h) = 4(h^2+h)^2-4h^4[/mm]
>
> b) [mm]g(n) = 4(n^2+n)^2-4n^4[/mm]
>
> ...
>
> Hallo
>
> Ich habe solch eine Aufgabe noch nie gelöst, kann mir da
> jemand einen Tipp geben?
> Ich kann den Ausdruck umformen zu [mm]f(h) = 8h^3+4h^2[/mm]
>
> Die Definition lautet:
> [mm]f(h) = O(h^p)[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] für kleine [mm]h\in (0, h_0][/mm]
> mit einer Konstanten [mm]c \leq 0[/mm] gilt: [mm]|f(h)| \leq c |h^p|[/mm]
Du meinst sicher c [mm] \ge [/mm] 0.
>
> Was ist überhaupt die Aufgabe? Muss ich das [mm]c[/mm] finden? Oder
> das [mm]p[/mm]?
Ich übersetze mal:
$ f(h) = [mm] O(h^p) [/mm] $, für $ h [mm] \searrow [/mm] 0 $ bedeutet: es gibt ein [mm] h_0>0 [/mm] so, dass der Quotient
[mm] Q(h):=\bruch{f(h)}{h^p} [/mm] für h [mm] \in (0,h_0] [/mm]
beschränkt ist.
Zu a) Nach Ausmultiplizieren ist
[mm] f(h)=8h^3+4h^2,
[/mm]
also
[mm] Q(h)=\bruch{8h^3+4h^2}{h^p}.
[/mm]
Nun orgeln wir das mal durch:
p=1: Dann ist [mm] Q(h)=8h^2+4h. [/mm] Prima ! Das bleibt in der Nähe von 0 beschränkt.
p=2: Dann ist Q(h)=8h+4. Wieder prima ! Das bleibt in der Nähe von 0 beschränkt.
p=3: Dann ist [mm] Q(h)=8+\bruch{4}{h}. [/mm] Bäääh ! Q(h) [mm] \to \infty [/mm] für $ h [mm] \searrow [/mm] 0 $
p=4: Dann ist [mm] Q(h)=\bruch{8}{h}+\bruch{4}{h^2}. [/mm] Wieder bäääh ! Q(h) [mm] \to \infty [/mm] für $ h [mm] \searrow [/mm] 0 $
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Was ist also das größtmögliche p, so das $ f(h) = [mm] O(h^p) [/mm] $, für $ h [mm] \searrow [/mm] 0 $ gilt ?
FRED
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> Vielen Dank
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> EDIT: Schreibfehler entfernt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:10 Di 23.07.2013 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Man schreibe die folgenden Ausdrücke in der Form [mm]f(h) = O(h^p)[/mm], für [mm]h \searrow 0[/mm] mit möglichst großem [mm]p \in \IN[/mm], bzw. [mm]g(n) = O(n^q)[/mm] für [mm]n \nearrow \infty[/mm] mit möglichst kleinem [mm]q\in\IN[/mm]:
a) [mm]f(h) = 4(h^2+h)^2-4h^4[/mm]
b) [mm]g(n) = 4(n^2+n)^2-4n^4[/mm]
c) [mm]f(h) = \bruch{e^h-e^{-h}}{2h}-1[/mm]
d) $g(n) = [mm] \sup_{x>0} \bruch{1-e^{-nx}}{1-e^{-x}}$ [/mm] |
Hallo
> Was ist also das größtmögliche p, so das [mm]f(h) = O(h^p) [/mm],
> für [mm]h \searrow 0[/mm] gilt ?
Das ist dann natürlich $p=2$. Also gilt $f(h) = [mm] O(n^2)
[/mm]
Ich habe oben noch einmal die anderen Aufgaben geschrieben. Die Aufgabe a haben wir gerade gelöst.
Bei b) habe ich raus: $g(n) = [mm] O(n^3)$
[/mm]
Bei c) habe ich raus: $f(h) = O(h)$
Sollte eigentlich stimmen.
Jetzt hänge ich aber bei der Aufgabe d):
Ich habe mir überlegt, dass es eigentlich problemlos möglich sein müsste das Polynom [mm] $n^q$ [/mm] in das Supremum reinzuziehen. In Formeln:
$Q(n) = [mm] \bruch{\sup_{x>0} \bruch{1-e^{-nx}}{1-e^{-x}}}{n^q} [/mm] = [mm] \sup_{x>0} \bruch{1-e^{-nx}}{n^q(1-e^{-x})}$
[/mm]
Ist das schon mal richtig? Und wie komme ich dann weiter?
Vielen Dank für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:58 Mi 31.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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