Landau-Symbole < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Spalding |
| Aufgabe | Sei an := [mm] \wurzel[3]{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] eine Folge.
Zeigen Sie:
a) an = o(1)
b) an = O(1 / [mm] \wurzel[3]{n^2}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst einmal zu Aufgabenteil a)
Das Landau-Symbol o bedeutet doch im Prinzip,
f(x)=o(g(x)) x -> [mm] \infty
[/mm]
also muss ich doch zeigen, dass
f(x) / g(x) gegen 0 geht, wenn x-> [mm] \infty [/mm] geht oder ?
in diesem Fall wäre es doch einfach
[mm] (\wurzel[3]{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel[3]{n}) [/mm] / 1
also
[mm] \wurzel[3]{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] für n -> [mm] \infty
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Könnte mir jemand einen Tipp geben.
Hoffe zunächstmal, dass ich das LandauSymbol richtig verstanden habe.
Zu Aufgabenteil b)
Habe ich nur, dass gilt:
[mm] \exists [/mm] K und eine Umgebung U von x0, sodass [mm] \forall [/mm] x Element U gilt
|f(x)| [mm] \le [/mm] K * |g(x)|.
Jetzt muss ich doch von der Folge ausgehend immer nach oben abschätzen oder ?
Vielen Dank
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Hallo Spalding,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei an := [mm]\wurzel[3]{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel[3]{n}[/mm] eine Folge.
>
> Zeigen Sie:
> a) an = o(1)
> b) an = O(1 / [mm]\wurzel[3]{n^2})[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Zunächst einmal zu Aufgabenteil a)
>
> Das Landau-Symbol o bedeutet doch im Prinzip,
> f(x)=o(g(x)) x -> [mm]\infty[/mm]
>
> also muss ich doch zeigen, dass
>
> f(x) / g(x) gegen 0 geht, wenn x-> [mm]\infty[/mm] geht oder ?
>
Ja.
>
> in diesem Fall wäre es doch einfach
> [mm](\wurzel[3]{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel[3]{n})[/mm] / 1
> also
> [mm]\wurzel[3]{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel[3]{n}[/mm] für n -> [mm]\infty[/mm]
>
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen
> soll.
> Könnte mir jemand einen Tipp geben.
Erweitere hier so, daß im Zähler steht:[mm]\left(n+1\right)-n[/mm]
>
> Hoffe zunächstmal, dass ich das LandauSymbol richtig
> verstanden habe.
>
>
>
> Zu Aufgabenteil b)
> Habe ich nur, dass gilt:
> [mm]\exists[/mm] K und eine Umgebung U von x0, sodass [mm]\forall[/mm] x
> Element U gilt
> |f(x)| [mm]\le[/mm] K * |g(x)|.
> Jetzt muss ich doch von der Folge ausgehend immer nach
> oben abschätzen oder ?
>
Hier mußt Du zeigen, daß
[mm]\limes_{x \to \infty} \vmat{\bruch{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}} < \infty[/mm]
ist.
>
>
> Vielen Dank
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 So 09.01.2011 | | Autor: | Spalding |
Erweitere hier so, daß im Zähler steht:$ [mm] \left(n+1\right)-n [/mm] $
Leider tritt hier schon das 1. Problem auf.
mit was muss ich da erweitern ?
Wenn ich mit $ [mm] \wurzel[3]{n+1} [/mm] $ + $ [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] $ erweiter, steht da
$ [mm] \wurzel[3]{n+1}^2 [/mm] $ - $ [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] ^2$ im Zähler,
nur wie mach ich dann weiter ?
oder ist der ansatz schon ganz falsch ?
Hier mußt Du zeigen, daß
$ [mm] \limes_{x \to \infty} \vmat{\bruch{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}} [/mm] < [mm] \infty [/mm] $
Danke. Aber wie geht man sowas an ?
Dann stünde da ja
$ [mm] (\wurzel[3]{n+1} [/mm] $ - $ [mm] \wurzel[3]{n}) [/mm] $ * $ [mm] \wurzel[3]{n^2} [/mm] $
und das soll für n -> $ [mm] \infty [/mm] $ kleiner als [mm] \infty [/mm] sein
umgeformt steht dann da ja
[mm] \wurzel[3]{n^3+n^2} [/mm] - n
nur wie schätzt man das nun weiter ab ?
Tut mir leid, haben das Thema erst neu und ich komm noch nicht so ganz hinterher.
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Hallo Spalding,
> Erweitere hier so, daß im Zähler steht:[mm] \left(n+1\right)-n[/mm]
>
> Leider tritt hier schon das 1. Problem auf.
> mit was muss ich da erweitern ?
> Wenn ich mit [mm]\wurzel[3]{n+1}[/mm] + [mm]\wurzel[3]{n}[/mm] erweiter,
> steht da
> [mm]\wurzel[3]{n+1}^2[/mm] - [mm]\wurzel[3]{n} ^2[/mm] im Zähler,
> nur wie mach ich dann weiter ?
>
> oder ist der ansatz schon ganz falsch ?
Der Ausdruck
[mm]\wurzel[3]{n+1} $ - $ \wurzel[3]{n} [/mm]
hat die Gestalt a-b, wobei
[mm]a=\wurzel[3]{n+1} , \ b=\wurzel[3]{n} [/mm]
Ziel ist folgendes:
Durch geschickte Erweiterung wird
[mm]a^{3}-b^{3}=\left(\wurzel[3]{n+1} \right)^{3}-\left(\wurzel[3]{n} \right)^{3}=\left(n+1\right)-n=1[/mm]
Um den Erweiterungsfaktor herauszubekommen, mußt Du demnach
eine Polynomdivision durchführen:
[mm]\left(a^{3}-b^{3}\right):\left(a-b\right)= \ ... [/mm]
>
>
>
> Hier mußt Du zeigen, daß
>
> [mm]\limes_{x \to \infty} \vmat{\bruch{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}} < \infty[/mm]
>
> Danke. Aber wie geht man sowas an ?
>
> Dann stünde da ja
> [mm](\wurzel[3]{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel[3]{n})[/mm] * [mm]\wurzel[3]{n^2}[/mm]
>
> und das soll für n -> [mm]\infty[/mm] kleiner als [mm]\infty[/mm] sein
>
> umgeformt steht dann da ja
> [mm]\wurzel[3]{n^3+n^2}[/mm] - n
> nur wie schätzt man das nun weiter ab ?
>
Hier ist der selbe Trick wie oben anzuwenden.
>
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> Tut mir leid, haben das Thema erst neu und ich komm noch
> nicht so ganz hinterher.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 09.01.2011 | | Autor: | Spalding |
Der Ausdruck
$ [mm] \wurzel[3]{n+1} [/mm] $ - $ [mm] \wurzel[3]{n} [/mm] $
hat die Gestalt a-b, wobei
$ [mm] a=\wurzel[3]{n+1} [/mm] , \ [mm] b=\wurzel[3]{n} [/mm] $
Ziel ist folgendes:
Durch geschickte Erweiterung wird
$ [mm] a^{3}-b^{3}=\left(\wurzel[3]{n+1} \right)^{3}-\left(\wurzel[3]{n} \right)^{3}=\left(n+1\right)-n=1 [/mm] $
Um den Erweiterungsfaktor herauszubekommen, mußt Du demnach
eine Polynomdivision durchführen:
$ [mm] \left(a^{3}-b^{3}\right):\left(a-b\right)= [/mm] \ ... $
Nach der Division erhalte ich dann
[mm] (a^2+ab-b^2)
[/mm]
muss ich das nun wieder durch a-b dividieren ?
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Hallo Spalding,
> Der Ausdruck
>
> [mm]\wurzel[3]{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel[3]{n}[/mm]
>
> hat die Gestalt a-b, wobei
>
> [mm]a=\wurzel[3]{n+1} , \ b=\wurzel[3]{n}[/mm]
>
> Ziel ist folgendes:
>
> Durch geschickte Erweiterung wird
>
> [mm]a^{3}-b^{3}=\left(\wurzel[3]{n+1} \right)^{3}-\left(\wurzel[3]{n} \right)^{3}=\left(n+1\right)-n=1[/mm]
>
> Um den Erweiterungsfaktor herauszubekommen, mußt Du
> demnach
> eine Polynomdivision durchführen:
>
> [mm]\left(a^{3}-b^{3}\right):\left(a-b\right)= \ ...[/mm]
>
>
>
> Nach der Division erhalte ich dann
> [mm](a^2+ab-b^2)[/mm]
Das muss hier doch lauten: [mm](a^2+ab}\blue{+}b^2)[/mm]
> muss ich das nun wieder durch a-b dividieren ?
Nein, jetzt hast Du den Erweiterungsfaktor gefunden.
Jetzt steht doch da:
[mm]a-b=\left(a-b\right)*\bruch{a^{2}+a*b+b^{2}}{a^{2}+a*b+b^{2}}=\bruch{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+a*b+b^{2}}[/mm]
Gruss
MathePower
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