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Forum "Steckbriefaufgaben" - Lagrangeinterpolation + f'(x)
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Lagrangeinterpolation + f'(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Fr 29.02.2008
Autor: weltio

Hallo,
bekanntlicherweise ist die Definition der Lagrange'schen Interpolationsmethode:

p(x)= [mm] \summe_{i=1}^{n} f(x_{i})*L_{i}(x) [/mm]
wobei
[mm] L_{i}(x)= \produkt_{j=0, j\not=i}^{n} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} [/mm] mit i=0 bis n und i [mm] \in \IN [/mm]

Meine Frage ist, ob der Herr Lagrange sich nun gar nicht um Steigungen gekümmert hat und seine Interpolationen nur auf die Punkte stützte, oder ob man die Ableitung doch irgendwie verbauen kann.


        
Bezug
Lagrangeinterpolation + f'(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Fr 29.02.2008
Autor: abakus


> Hallo,
>  bekanntlicherweise ist die Definition der Lagrange'schen
> Interpolationsmethode:
>  
> p(x)= [mm]\summe_{i=1}^{n} f(x_{i})*L_{i}(x)[/mm]
>  wobei
>  [mm]L_{i}(x)= \produkt_{j=0, j\not=i}^{n} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}[/mm]
> mit i=0 bis n und i [mm]\in \IN[/mm]
>  
> Meine Frage ist, ob der Herr Lagrange sich nun gar nicht um
> Steigungen gekümmert hat und seine Interpolationen nur auf
> die Punkte stützte, oder ob man die Ableitung doch
> irgendwie verbauen kann.

Hallo,
du musst du den Herrn Taylor fragen.
;-)



>  
>  

Bezug
                
Bezug
Lagrangeinterpolation + f'(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Fr 29.02.2008
Autor: weltio

Danke sehr. Nun habe ich aber das Problem, dass ich dieses für meine Facharbeit benötige. Einerseits hat mein Lehrer gesagt, ich solle "das" nochmal mit Steigungen machen. (Ich weiss leider nicht mehr genau, was - deshalb die Frage mit Lagrange) In meiner Facharbeit geht es aber explizit um Lagrange und Splines, weshalb Taylor sich jetzt nicht unbedingt dazugesellen sollte/müsste/dürfte.
Jetzt habe ich wohl ein Problem :D
Bezug
                        
Bezug
Lagrangeinterpolation + f'(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Fr 29.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Danke sehr. Nun habe ich aber das Problem, dass ich dieses
> für meine Facharbeit benötige. Einerseits hat mein Lehrer
> gesagt, ich solle "das" nochmal mit Steigungen machen. (Ich
> weiss leider nicht mehr genau, was

Hallo,

ich stelle mir vor, daß mit "das" die Interpolation gemeint ist.

Kann es sein, daß Dein Lehrer die Interpolation mit kubischen Splines meint? Ich vermute das ganz stark.

Bei der Lagrangeinterpolation legst Du ja durch n+1 vorgegebene Punkte ein Polynom vom Höchstgrad n.

Bei der Interpolation mit kubischen Splines ist die Aufgabe die, jeweils zwischen zwei benachbarten Stützstellen ein Polynom vom Höchstgrad drei zu finden, mit bestimmten Eigenschaften:

An den "Anschlußstellen"  sollen die Polynome übereinstimmen, ihre Funktionswerte also gleich sein.

Die entstehende Funktion, welche stückweise aus verschiedenen Polynomen v. Höchstgrad 3 zusammengesetzt ist, soll "glatt" sein, also müssen  außerdem die erste und zweite Ableitung an den Anschlußstellen übereinstimmen.

Gruß v. Angela
Bezug
                
Bezug
Lagrangeinterpolation + f'(x): Taylor?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 Fr 29.02.2008
Autor: Bastiane

Hallo abakus!

> > Hallo,
>  >  bekanntlicherweise ist die Definition der
> Lagrange'schen
> > Interpolationsmethode:
>  >  
> > p(x)= [mm]\summe_{i=1}^{n} f(x_{i})*L_{i}(x)[/mm]
>  >  wobei
>  >  [mm]L_{i}(x)= \produkt_{j=0, j\not=i}^{n} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}[/mm]
> > mit i=0 bis n und i [mm]\in \IN[/mm]
>  >  
> > Meine Frage ist, ob der Herr Lagrange sich nun gar nicht um
> > Steigungen gekümmert hat und seine Interpolationen nur auf
> > die Punkte stützte, oder ob man die Ableitung doch
> > irgendwie verbauen kann.
>  
> Hallo,
>  du musst du den Herrn Taylor fragen.
>  ;-)

Bist du sicher? Das Ding nennt sich doch aber definitiv Lagrange Interpolation, oder nicht? Aber was hat dann der Herr Taylor damit zu tun? [kopfkratz]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]
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Lagrangeinterpolation + f'(x): Lieber Newton
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 Fr 29.02.2008
Autor: subclasser

Hallo allerseits!

Dann gebe ich auch noch meinen Senf dazu ab :-)
Die Taylorformel eignet sich ziemlich schlecht zum Interpolieren, weil man sich dabei einfach mehrfach dieselbe einzige Stützstelle vorgibt, was man wohl eher selten will.
Die Taylorformel ergibt sich aber als Spezialfall der sogenannten Newtoninterpolation (auch gerne das Schema der dividierten Differenzen), mit der man tatsächlich auch Ableitungen beliebiger Ordnung "mitinterpolieren kann".
Mehr dazu wie so oft bei Wikipedia: []http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_polynomial

Achja: Interpoliert man nur Funktionswerte (mit Polynomen), so nennt man dies Lagrangeinterpolation, will man dagegen auch Ableitungen interpolieren, redet man meistens von Hermite-Interpolation.

Aber das wird wohl den Umfang und Schwierigkeitsgrad einer Facharbeit sprengen.

Gruß!
Bezug
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