Lagrange Extremwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mi 02.06.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | | Gesucht ist der Punkte auf der Parabel [mm] x^2 [/mm] − 4y = 0, der dem Punkt (0, 1) in der Euklidischen Norm am nächsten liegt. Hinweis: Minimieren Sie das Quadrat des Abstands |
Man soll hier mit dem Lagrange verfahren die aufgabe lösen.
Quadrat des Abstands [mm] f(x,y)=x^2+(y-1)^2
[/mm]
nebenbedingung [mm] g(x,y)=x^2-4y=0
[/mm]
grad f= [mm] \lambda [/mm] grad g, g=0
grad f = [mm] \vektor{2x \\ 2y-2} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{2x \\ -4}
[/mm]
für [mm] \lambda \not= [/mm] 0
[mm] 2x=2x\lambda [/mm] , [mm] \lambda=1
[/mm]
2y-2=-4 , y=-1 ,
in g eingesetzt: [mm] x^2=-4, [/mm] keine reelle lösung
für [mm] \lambda [/mm] =0
2x=0 , x=0
2y-2=0 , y=1
[mm] x^2-4y=0 [/mm] , y=0
es gibt einen widerspruch in den gleichungen, aber auf der parabel [mm] y=x^2/4 [/mm] müsste es einen punkt geben, der einen minimalen abstand zu (0,1) hat, vermutlich der punkt (0,0).
wolfram alpha gibt auch (0,0) als minimum aus.
Wie kann das sein? bitte um erklärung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 02.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gesucht ist der Punkte auf der Parabel [mm]x^2[/mm] − 4y = 0, der
> dem Punkt (0, 1) in der Euklidischen Norm am nächsten
> liegt. Hinweis: Minimieren Sie das Quadrat des Abstands
> Man soll hier mit dem Lagrange verfahren die aufgabe
> lösen.
>
> Quadrat des Abstands [mm]f(x,y)=x^2+(y-1)^2[/mm]
> nebenbedingung [mm]g(x,y)=x^2-4y=0[/mm]
>
> grad f= [mm]\lambda[/mm] grad g, g=0
>
> grad f = [mm]\vektor{2x \\ 2y-2}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{2x \\ -4}[/mm]
>
> für [mm]\lambda \not=[/mm] 0
> [mm]2x=2x\lambda[/mm] , [mm]\lambda=1[/mm]
Wieso ????
> 2y-2=-4 , y=-1 ,
> in g eingesetzt: [mm]x^2=-4,[/mm] keine reelle lösung
>
> für [mm]\lambda[/mm] =0
> 2x=0 , x=0
> 2y-2=0 , y=1
> [mm]x^2-4y=0[/mm] , y=0
>
> es gibt einen widerspruch in den gleichungen, aber auf der
> parabel [mm]y=x^2/4[/mm] müsste es einen punkt geben, der einen
> minimalen abstand zu (0,1) hat, vermutlich der punkt
> (0,0).
>
> wolfram alpha gibt auch (0,0) als minimum aus.
>
> Wie kann das sein? bitte um erklärung
Wir haben:
(1) $ [mm] 2x=2x\lambda [/mm] $
(2) $2y-2=-4 [mm] \lambda$
[/mm]
(3) [mm] $x^2=4y$
[/mm]
Annahme: x [mm] \not=0. [/mm] Aus (1) folgt dann: [mm] \lambda=1. [/mm] Mit (2) erhlten wir y=-1: Aus (3) erhalten wir den Widerspruch [mm] x^2=-4
[/mm]
Also ist x=0. Aus (3) erhlten wir y=0
FRED
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