Lagrange Ansatz < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Di 25.06.2013 | | Autor: | genetikk |
| Aufgabe | Berechnen Sie mögliche relative Extrema der Funktion
F(x1,x2,x3) = (x2-1)²+(x3-1)² unter den Nebenbedingungen
x1+x3=2 und (1-x1)²+x2=1 |
Hey Leute, ich bin gerade am Lernen für die kommenden Klausuren und habe ziemlich starke Probleme mit der Optimierung über Lagrange. Mein konkretes Problem ist dabei das Finden der stationären Punkte(also mögl Maxima/Minima).
Ich weiß wie man die Lagrange Funktion aufstellt, wie man ableitet usw. Aber wie das Lösungssystem der Partiellen Ableitungen gelöst wird, dabei versag ich einfach Maßlos. Leider findet man dazu auch in der Literatur oder im Internet wirklich was. Ich habe nur gelesen, dass es nicht "den" einen Weg gibt, sondern es quasi jedesmal eine neue Situation ist die auf anderen Wegen gelöst werden kann.
Ich finde aber nichtmal Regeln über das Lösen(warum man z.B. die gleichungen durcheinander teilen darf oder gleichsetzen, subtrahieren, usw.)
Kann mir einer mal genau sagen(am Bsp. dieser Aufgabe) wie man da am besten vorgeht?
Ich will nochmal anmerken, dass es nur um die Berechnung der möglichen! Extrema geht, die Überprüfung bekomm ich selber hin.
Vielen dank im voraus !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Di 25.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie mögliche relative Extrema der Funktion
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> F(x1,x2,x3) = (x2-1)²+(x3-1)² unter den Nebenbedingungen
>
> x1+x3=2 und (1-x1)²+x2=1
> Hey Leute, ich bin gerade am Lernen für die kommenden
> Klausuren und habe ziemlich starke Probleme mit der
> Optimierung über Lagrange. Mein konkretes Problem ist
> dabei das Finden der stationären Punkte(also mögl
> Maxima/Minima).
> Ich weiß wie man die Lagrange Funktion aufstellt, wie man
> ableitet usw. Aber wie das Lösungssystem der Partiellen
> Ableitungen gelöst wird, dabei versag ich einfach Maßlos.
> Leider findet man dazu auch in der Literatur oder im
> Internet wirklich was. Ich habe nur gelesen, dass es nicht
> "den" einen Weg gibt, sondern es quasi jedesmal eine neue
> Situation ist die auf anderen Wegen gelöst werden kann.
> Ich finde aber nichtmal Regeln über das Lösen(warum man
> z.B. die gleichungen durcheinander teilen darf oder
> gleichsetzen, subtrahieren, usw.)
> Kann mir einer mal genau sagen(am Bsp. dieser Aufgabe) wie
> man da am besten vorgeht?
Wir machen das so:
Du stellst das Gleichungssystem auf und zeigst Deine Ansätze.
Wir kontrollieren dan und helfen Dir, falls nötig, auf die Sprünge.
Noch etwas: obige Aufgabe kannst Du auch ohne Lagrange lösen:
Aus [mm] x_1+x_3=2 [/mm] und [mm] (1-x_1)^2+x_2=1 [/mm] folgt:
[mm] x_3=2-x_1 [/mm] und [mm] x_2=1-(1-x_1)^2
[/mm]
Setzt man das in F ein, erhält man eine Funktion von nur einer Variablen:
[mm] F(x_1)=(1-x_1)^4+(1-x_1)^2
[/mm]
FRED
> Ich will nochmal anmerken, dass es nur um die Berechnung
> der möglichen! Extrema geht, die Überprüfung bekomm ich
> selber hin.
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> Vielen dank im voraus !
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Di 25.06.2013 | | Autor: | genetikk |
Na klar ! Ich war wohl so sehr auf das Lagrange-Verfahren fokussiert, dass ich diesen Lösungsweg ganz außer acht gelassen habe..
Aber da ich mit Lagrange trotzdem Probleme habe, vielleicht diese Aufgabe:
f(x1,x2,x3)= x1x2x3 = max
unter der Zwangsbedingung x1²+x2²+2x3²=1
ich schicke meinen Lösungsansatz mal im Anhang als Bild, weil ich nicht weiß wie man die Zeichen hier macht und es sonst zu verwirrend aussieht !
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Aber da ich mit Lagrange trotzdem Probleme habe, vielleicht
> diese Aufgabe:
>
> f(x1,x2,x3)= x1x2x3 = max
> unter der Zwangsbedingung x1²+x2²+2x3²=1
>
> ich schicke meinen Lösungsansatz mal im Anhang als Bild,
> weil ich nicht weiß wie man die Zeichen hier macht und es
> sonst zu verwirrend aussieht !
Hallo,
wenn Du uns öfter besuchst, mach Dich bitte mit der Formeleingabe vertraut. Hier sollten sich Deine diesbezüglichen Fragen klären.
Deine Aufgabe hast Du richtig zu bearbeiten begonnen.
Löse jetzt das Gleichungssystem.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 25.06.2013 | | Autor: | genetikk |
Werde ich tun, vielen Dank für den Link.
Da liegt ja eben mein Problem. Wie fange ich da am Besten an, wie gehe ich vor um am "einfachsten" zur Lösung zu kommen?
Was für Regeln muss ich beachten und was für Tipps gibt es ?
Ich ecke immer irgendwo an, bzw sehe nur Formeln und keine Wege überhaupt zu starten.
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> Da liegt ja eben mein Problem. Wie fange ich da am Besten
> an, wie gehe ich vor um am "einfachsten" zur Lösung zu
> kommen?
Hallo,
das steht doch im Moment gar nicht zur Debatte. Erstmal mußt Du irgendwie zur Lösung kommen - danach kannst Du dann überlegen, ob es auch bessere Wege gibt.
> Was für Regeln muss ich beachten und was für Tipps gibt
> es ?
> Ich ecke immer irgendwo an, bzw sehe nur Formeln und keine
> Wege überhaupt zu starten.
Hm. Irgendetwas wirst Du doch probiert haben. (?) Das würden wir hier gerne sehen, damit wir Dir gezielt helfen können.
Vorrechnen möchte ich es nicht - zumal ich alle Formeln selbst tippen müßte...
Tips:
Du könntest eine der Gleichungen nach [mm] \lambda [/mm] auflösen, anschließend das [mm] \lambda [/mm] in den verbleibenden Gleichungen eliminieren.
Dann nach der nächsten Variablen auflösen, eliminieren usw.
Aufpassen, wenn Du durch Variablen dividierst, denn Du darfst nicht durch 0 teilen. Mußt dann notieren "für [mm] ...\not=0" [/mm] und den Fall "...=0" gesondert untersuchen.
Speziell in dieser Aufgabe kannst Du auch vorankommen, indem Du so multiplizierst, daß Du in den ersten drei Gleichungen immer erstmal den ersten Summanden [mm] x_1x_2x_3 [/mm] hast und dann weitermachst.
Leg mal los.
Man kann das nur lernen, wenn man es oft genug tut.
LG Angela
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Hallo,
Ja also beginne mal mit dem Lösen des GLS. - Ansätze beim Lösen gibt es immer verschiedene...
Also fangen wir mal an:
(Im Übrigen musst du bei Lagrange Multiplikation, falls du diese durchführst, auch prüfen ob die entsprechenden Voraussetzungen dazu erfüllt sind - falls du diese nicht kennst, schlage sie nach!)
f(x,y,z) = xyz
g(x,y,z) = [mm] x^2+y^2+2z^2-1 [/mm] = 0
[mm] \Phi(x,y,z,\lambda) [/mm] = xyz + [mm] \lambda(x^2+y^2+2z^2-1)
[/mm]
diffen nach [mm] x,y,z,\lambda [/mm] liefert dir wie du schon richtig ersehen hast folgendes GLS:
I: yz [mm] +2\lambda*x [/mm] = 0 [mm] \rightarrow: \lambda [/mm] = [mm] \frac{-yz}{2x}
[/mm]
II: [mm] xz+2\lambda*y=0 \rightarrow: \lambda [/mm] = [mm] \frac{-xz}{2y}
[/mm]
[mm] III:xy+4\lambda*z=0 \rightarrow: \lambda [/mm] = [mm] \frac{-xy}{4z}
[/mm]
IV: g(x,y,z) = 0
I = II liefert:
[mm] -2y^{2}z= -2x^{2}z \gdw y^{2}z [/mm] = [mm] x^{2}z [/mm] so nun könntest du a) durch z [mm] \neq [/mm] 0 dividieren und ersiehst x = y oder z = 0 damit diese Gleichung erfüllt ist
oder du machst es langsam : [mm] y^{2}z-x^{2}z [/mm] = 0 [mm] \gdw z(y^2-x^2) [/mm] = 0 genau dann wenn a) z= 0 oder x = y.
fahren nun nach zb. diesem Schema fort.
Lg
Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 25.06.2013 | | Autor: | genetikk |
Bin jetzt soweit:
I in II liefert: x=y (a)
I in III liefert: z= [mm] $\wurzel{0,5}$x [/mm] (b)
(a)+(b) in IV liefert: x²+x+x²-1=0 ---> MNF: x1 =-1 ; x2=1/2
eingesetzt in (a) und (b) ergibt das 1. [mm] (x,y,z)=(-1,-1,-\wurzel{0,5}*0,5)
[/mm]
schaut suspekt aus...:/
2. [mm] (x,y,z)=(0,5;0,5;\wurzel{0,5}*0,5
[/mm]
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> Bin jetzt soweit:
>
> I in II liefert: x=y (a)
>
> I in III liefert: z= [mm]\wurzel{0,5}[/mm]x (b)
>
>
> (a)+(b) in IV liefert: x²+x+x²-1=0 ---> MNF: x1 =-1 ;
> x2=1/2
>
> eingesetzt in (a) und (b) ergibt das 1.
> [mm](x,y,z)=(-1,-1,-\wurzel{0,5}*0,5)[/mm]
>
> schaut suspekt aus...:/
>
> 2. [mm](x,y,z)=(0,5;0,5;\wurzel{0,5}*0,5[/mm]
Erstens: Man kann sich kaum was unter deiner Ausführung vorstellen weil immens wenig geschrieben ist, was bedeutet MNF?
Zweitens: Das Lösen eines solchen GLS ist mühsam (eventuell) aber nicht wirklich kompliziert
Drittens: Was genau schaut so unfassbar suspekt an deinen (womoglich richtigen oder auch falschen) Punkten aus?
Viertens: Sei doch so nett und poste einfach die Schritte wie du das GLS auflöst - ich habe in meiner ersten Antwort ja auch gepostet wie genau ich zb. beginnen würde es aufzulösen - tust du das , so fällt es mir , ich denke auch allen anderen, wesentlich leichter zu prüfen ob es richtig /falsch ist bzw wie du zu deinen Resultaten gelangst und ob der Rechenweg richtig/falsch ist.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Di 25.06.2013 | | Autor: | genetikk |
sorry tut mir leid, aber ich brauch ne halbe Ewigkeit um das hier "korrekt" einzutippen und finds dann sehr unübersichtlich. ich hoffe ihr könnt mir verzeihen, wenn ich einfach das Bild dazu hochlade. Vielleicht ist das für euch auch übersichtlicher.
Vielen lieben Dank für eure ganze Hilfe... ! Bin echt froh..
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Di 25.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Der Formeleditor ist wirklich selbsterklärend... wenn du dich damit etwas beschäftigst hast du den Dreh schnell raus ;)
Ok manchmal sagt ein Bild ja mehr als tausend Worte :)
lg
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