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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:30 So 15.02.2009 | | Autor: | Beigbeder87 |
| Aufgabe | Kostenfunktion: K(r,s) = 12r + s
Produktionsfkt.: X=P(r,s)= [mm] 2r^{3}s
[/mm]
Welche Menge r uns s sollen eingesetzt werden, damit eine Menge von X=8 kostenoptimal produziert werden kann. Verwenden Sie dazu die Langrange-Methode und bestimmen sie alle Parameter der Lagrange-Funktion! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
r und s konnte ich ganz einfach bestimmen (r= 1 und s = 4) aber [mm] \lambda [/mm] also den Lagrangemultiplikator, der nach meinen Lösungen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein soll, kann ich irgendwie nicht bestimmen. Ich habe alles ausprobiert, hab r und s eingesetzt in alle möglichen Formen, aber komme einfach nicht auf das oben genannte Ergebnis. Wäre euch sehr dankbar, wenn mir das jemand kurz erklären könnte, weil ich jetzt schon längere Zeit an dieser Aufageb hänge 
Benötige den Multiplikator, um später den Anstieg der Produktionskosten errechnen zu können!
LG und danke!
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> Kostenfunktion: K(r,s) = 12r + s
> Produktionsfkt.: X=P(r,s)= [mm]2r^{3}s[/mm]
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> Welche Menge r uns s sollen eingesetzt werden, damit eine
> Menge von X=8 kostenoptimal produziert werden kann.
> Verwenden Sie dazu die Langrange-Methode und bestimmen sie
> alle Parameter der Lagrange-Funktion!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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>
> r und s konnte ich ganz einfach bestimmen (r= 1 und s = 4)
> aber [mm]\lambda[/mm] also den Lagrangemultiplikator, der nach
> meinen Lösungen [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sein soll, kann ich irgendwie
> nicht bestimmen.
Hallo,
rechne mal vor:
Lagrangefunktion, partielle Ableitungen und wie Du das GS löst.
Gruß v. Angela
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Also ich stelle die Lagrangefunktion auf:
L = [mm] 2r^{3}s [/mm] + [mm] 12r\lambda [/mm] + [mm] s\lambda
[/mm]
Nun leite ich nach s,r und [mm] \lambda [/mm] ab. Die Ableitung von s und r löse ich nach [mm] \lambda [/mm] auf, um diese dann gleichsetzen zu können!
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda [/mm]
[mm] -2r^{3}=-\bruch{1}{2}r^{2}s
[/mm]
wenn ich das nun auflöse, erhalte ich s = 4r, was ich nun in meine Produktionsfkt. einsetze um r zu erhalten!
8 = [mm] 2r^{3}4r
[/mm]
r{4}=1
also r=1
wenn r=1 ist dann folglich s=4
Jetzt brauche ich wie gesagt noch den Multiplikator!
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> Also ich stelle die Lagrangefunktion auf:
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> L = [mm]2r^{3}s[/mm] + [mm]12r\lambda[/mm] + [mm]s\lambda[/mm]
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> Nun leite ich nach s,r und [mm]\lambda[/mm] ab. Die Ableitung von s
> und r löse ich nach [mm]\lambda[/mm] auf, um diese dann gleichsetzen
> zu können!
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> [mm]-2r^{3}=-\bruch{1}{2}r^{2}s[/mm]
>
> wenn ich das nun auflöse, erhalte ich s = 4r, was ich nun
> in meine Produktionsfkt. einsetze um r zu erhalten!
>
> 8 = [mm]2r^{3}4r[/mm]
> r{4}=1
> also r=1
>
> wenn r=1 ist dann folglich s=4
>
> Jetzt brauche ich wie gesagt noch den Multiplikator!
Hallo,
Dein [mm] \lambda [/mm] bekämst Du durch Einsetzen in die nach [mm] \lambda [/mm] aufgelöste Gleichung - welche man hier nirgendssehen kann.
ABER hier ist etwas ganz gründlich schiefgegangen:
die zu optimierende Funktion ist doch die Kostenfunktion.
Die Produktionsfunktion liefert mit 8=P(r,s) die Nebenbedingung.
Also lautet die Lagrangefunktion:
[mm] L(r,s,\lambda)= [/mm] K(x) + [mm] \lambda [/mm] (2r^3s - 8).
Once more.
Gruß v. Angela
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Uiii, das ist natürlich klar, man da hatte ich ja Glück im Unglück. Habe jetzt noch mals die richtige Lagrange-Funktion abgeleitet und erhalte:
Lr = 12 + [mm] 6r^2 [/mm] mal s mal lambda
Ls = 1 + [mm] 2r^3 [/mm] mal lambda
Llabmda = [mm] 2r^3 [/mm] mal s - 8
wenn ich Lr jetzt nach lambda auflöse erhalte ich:
[mm] \lambda= \bruch{-2}{r^2s}
[/mm]
und da kommt dann doch - 1/2 raus und nicht 1/2 ?! aber in den Lösungen ist 1/2 positiv!
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> Uiii, das ist natürlich klar, man da hatte ich ja Glück im
> Unglück. Habe jetzt noch mals die richtige
> Lagrange-Funktion abgeleitet und erhalte:
>
> Lr = 12 + [mm]6r^2[/mm] mal s mal lambda
> Ls = 1 + [mm]2r^3[/mm] mal lambda
> Llabmda = [mm]2r^3[/mm] mal s - 8
>
> wenn ich Lr jetzt nach lambda auflöse erhalte ich:
> [mm]\lambda= \bruch{-2}{r^2s}[/mm]
> und da kommt dann doch - 1/2
> raus und nicht 1/2 ?! aber in den Lösungen ist 1/2 positiv!
Hallo,
ich hatte auf meinem Zettel auch -1/2 heraus.
Aber schau nochmal genau in Deinen Unterlagen nach, wie Ihr die Lagrangefunktion aufstellt, es gibt da verschiedene Varianten.
Vielleicht ist Eure nämlich mit [mm] ...\red{minus}\lambda*( [/mm] Nebenbedingung).
Ansonsten: manchmal gibt's ja Druckfehler.
Gruß v. Angela
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Bei uns ist das die gewöhnliche Form, die auch meistens in den Lehrbüchern zur Wirtschaftsmathematik steht, aber ich denke auch mal, dass es sich vielleicht um einen Tippfehler handelt, weil ich auch schon Andere entdeckt habe. Hat mich eben nur stark verunsichert 
Ich danke dir trotzdem für deine Hilfe, bin wirklich beeindruckt, wie gut man hier beraten wird. Vielen Dank!
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Doch, ich glaube, jetzt hab ichs. Wenn lambda negativ ist, heißt das ja ökonomisch betrachtet so viel wie, es handelt sich hier um einen Faktor der sich mit den Kosten (die ja immer negativ sind) beschäftigt. Vielleicht hat man also auf Grund des ökonomischen Zusammenhangs einfach das - vernachlässigt.
LG
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Hallo,
möglicherweise ist auch nicht
$ [mm] L(r,s,\lambda)= [/mm] $ K(x) + $ [mm] \lambda [/mm] $ (2r^3s - 8) Eure Lagrangefunktion, sondern
$ [mm] L(r,s,\lambda)= [/mm] $ K(x) + $ [mm] \lambda [/mm] $ (8 - 2r^3s ).
Auch das hat ja eine Vorzeichenänderung zur Folge.
Finde genau heraus, welche Lagrangefunktion Ihr verwendet. Auf die kritischen Punkte hat das keinerlei Einfluß, aber ich habe kürzlich festgestellt, daß mancherorten aus dem Vorzeichen von [mm] \lambda [/mm] noch Schlüsse gezogen werden.
Gruß v. Angela
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Ich habe jetzt noch ein paar Aufgaben der gleichen Sorte berechnet und es ist genau so, wie du es in deinem letzten Posting beschrieben hast. So kommt es also zum anderen Vorzeichen (was ich eigentlich nicht logisch finde) aber jetzt einfach so mal da stehen lasse und anwende ;)
lg
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