Lagrange-Formalism. Reibung? < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo!
Ich wollte mal fragen, ob der Lagrange-Formalismus es gestattet, eine Reibung ins System einzubinden? Ich möchte den Lagrange-Formalismus benutzen, um die Bewegungsgleichungen für ein Doppelpendel mit Reibung herauszubekommen.
Danke für Eure Mühe!
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 02.12.2008 | | Autor: | Doing |
hallo
sobald nicht-konservative Kräfte (wie eben z.b. reibungskräfte) wirken, ändern sich die lagrange-gleichungen (2. art) zu :
[mm] \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q_{k}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{k}} = Q_{k} [/mm]
wobei [mm] Q_{k} [/mm] (wenn man von kartesischen Koordinaten ausgeht) dann definiert wird als:
[mm] Q_{k} = \summe_{u=1}^{N} F_i^(^u^) \frac{\partial x_i^(^u^)}{\partial q_k} [/mm]
der obere index u steht für das u-te teilchen...über i wird nach der summenkonvention auch summiert; hier werden damit die kartesischen koordinaten bezeichnet....also i=1,2,3
ist etwas knapp, ich weiß...hab grad nicht die meiste zeit...wenn noch fragen offen sind versuch ich gerne zu helfen
edit: hast du einen kraftansatz für die reibung? dann könnte man das ganze konkreter angehen
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Hallo!
Danke für deine Antwort! Sowas habe ich gesucht!
Allerdings ist mir noch nicht ganz klar
> [mm]\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q_{k}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{k}} = Q_{k}[/mm]
>
> wobei [mm]Q_{k}[/mm] (wenn man von kartesischen Koordinaten ausgeht)
> dann definiert wird als:
>
> [mm]Q_{k} = \summe_{u=1}^{N} F_i^(^u^) \frac{\partial x_i^(^u^)}{\partial q_k}[/mm]
>
> der obere index u steht für das u-te teilchen...über i wird
> nach der summenkonvention auch summiert; hier werden damit
> die kartesischen koordinaten bezeichnet....also i=1,2,3
Ich möchte die Reibung nur ganz simpel mit einer der aktuellen Geschwindigkeit entgegengesetzten, zu der Geschwindigkeit proportionalen Kraft [mm] -r*\dot{x} [/mm] oder so einbinden.
Ist
[mm] \frac{\partial x_i^(^u^)}{\partial q_k}
[/mm]
die partielle Ableitung der kartesischen Koordinate [mm] x_{i} [/mm] nach der generalisierten Koordinaten [mm] q_{k} [/mm] ? Also wenn ich
[mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] -L_{1}*\sin(\alpha2(t))
[/mm]
wobei jetzt [mm] \alpha_{1}(t) [/mm] und [mm] \alpha_{2}(t) [/mm] die generalisierten Koordinaten sind, wäre dann bei k = 1
[mm] \frac{\partial x_1^(^u^)}{\partial \alpha_1} [/mm] = 0
und bei k = 2
[mm] \frac{\partial x_1^(^u^)}{\partial \alpha_2} [/mm] = [mm] -L_{1}*\cos(\alpha_{2}) [/mm] ?
Was ich für F konkret einsetzen muss, weiß ich nicht...
Kannst du mir bitte nochmal helfen?
Danke für Deine (Eure) Mühe,
Stefan.
PS: Kannst du mir eine Internetseite oder einen Buchtitel schicken, wo die Formel drinsteht? Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Doing |
hallo,
also ich versuch das jetzt mal etwas strukturierter und ausführlicher hinzuschreiben.
wie du richtig erkannt hast, ist [mm] \frac{\partial x_i}{\partial q_k} [/mm] die partielle ableitung der kartesischen koordinate [mm] x_i [/mm] nach [mm] q_k.[/mm] [mm] F_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k} [/mm] ist das skalarprodukt.
du kannst das ganze auch schreiben als:
[mm] Q_k = \summe_{u=1}^{N} \vec F_u * \frac{\partial \vec r_u}{\partial q_k} [/mm], wobei hier dann [mm] \vec r_u [/mm] der Ortsvektor des u-ten Teilchens ist.
reibung im zusammenhang mit lagrange müsste in dem ein oder anderen Lehrbuch zur theoretischen mechanik besprochen werden. ich hab bloß scheck - "theoretische physik 1" hier. da steht das nicht unbedingt in zusammenhang mit reibung, aber wenn man da mal reinschaut, kann man sich sehr gut überlegen warum das so rauskommt.
die ganze herleitung der lagrange gleichung wär mir hier etwas zu aufwendig, aber nehme mal zb an, F sei eine konservative Kraft. Dann ist
[mm] \vec F_u = - \nabla _u U [/mm] ,und [mm]\,
Q_k = - \summe_{u=1}^{N} \nabla _u U * \frac {\partial \vec r_u}{\partial q_k} = - \frac{\partial U}{\partial q_k}[/mm] , wobei U dann natürlich in den [mm]q_k [/mm]ausgedrückt werden muss.
in dieser Form werden die [mm] Q_k [/mm] aber von der lagrange-funktion absorbiert, da sie in den Term [mm] \frac{\partial L}{\partial q_k} [/mm] fallen würden. Oder salopper ausgedrückt: [mm] Q_k [/mm] ist das was von den generalisierten Kräften übrig bleibt, wenn die anderen konservativ sind und in die lagrange-funktion fallen.
nun zum kraftansatz.
> Ich möchte die Reibung nur ganz simpel mit einer der
> aktuellen Geschwindigkeit entgegengesetzten, zu der
> Geschwindigkeit proportionalen Kraft [mm]-r*\dot{x}[/mm] oder so
> einbinden.
was heißt hier bei dir r? also von der geschwindigkeit sollte die kraft schon abhängen, das stimmt. im normalfall nimmt man da doch dann sowas wie [mm] F_i = -bm \dot x_i [/mm] an oder? (bin mir da aber nicht ganz sicher wie man das sonst noch machen könnte). mit irgendeinem reibungskoeffizienten b. wie sieht denn deine aufgabe genau aus? also du kannst ja die reibungskraft nicht einfach irgendwie berechnen.
ich hoffe ich konnte dir helfen.
beste grüße
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Hallo und danke für deine Antwort!
![[]](/images/popup.gif) Hier habe ich auf Seite 80 oder so ein für mich anscheinend ganz passendes Kapitel gefunden, wo ich auch deine Beschreibungen wiederfinde.
Nun frage ich mich, du hast mich schon darauf aufmerksam gemacht, wie ich denn die Reibung allgemein einbringe, also mit welcher Formel? Bei den Objekten, die dann "reiben", handelt es sich um Kugeln, wobei die Masse und die Querschnittsfläche bekannt ist. Ich frage mich nun, ob ich die Formel für die "langsame Geschwindigkeit", d.h. Reibung proportional zu [mm] \dot{x}, [/mm] oder für "schnelle Geschwindigkeit" Reibung proportional zu [mm] \dot{x}^{2} [/mm] nehmen soll?
Bei dem Modell handelt es sich um ein Doppelpendel, da können unter Umständen die Geschwindigkeit mal relativ groß sein, aber oft auch klein, wenn ich es nicht so stark anstoße...
Danke für Eure Hilfe,
Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Do 04.12.2008 | | Autor: | Doing |
hallo,
also verstehe ich dich damit richtig, dass du die massen als starre körper und nicht als massenpunkte auffassen willst?
also es wäre ganz gut zu wissen, wie dieses doppelpendel genau aussieht. wenn du außerdem auf eine analytische lösung des problems aus bist, wirst du die bewegungsgleichung wahrscheinlich sowieso vereinfachen müssen; da solltest du dann auch einen bogen um nicht-lineare terme bezüglich der reibung machen.
also mein vorschlag: erstmal einfach überlegen wie das pendel beschrieben werden kann, d.h. das problem in die generalisierten koordinaten umschreiben.
dann die bewegungsgleichungen aufstellen, und diese vereinfachen, sodass keine nichtlinearen terme drinstehen (d.h. also auch erstmal die reibungskraft als nichtlinear in [mm] \dot x [/mm] annehmen); und schließlich diese erstmal lösen.
danach kann man sich vielleicht überlegen, ob das nichtlineare problem eine einfache nummerische lösung möglich macht. ich weiß ja nicht, inwieweit du darin bewandert bist, aber nicht-lineare differentialgleichungen machen halt meistens keinen spaß ;).
wie gesagt, wenn du noch genauere hilfe haben möchtest, bitte das problem konkret posten.
beste grüße
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Hallo!
Okay...
Also, das Pendel sieht folgendermaßen aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grundsätzlich betrachtete ich für die Aufstellung der Gleichungen natürlich zunächst [mm] m_{1} [/mm] und [mm] m_{2} [/mm] als Massenpunkte, aber nun wollte ich es noch realistischer machen. Dazu dachte ich, ich gebe den Kugeln eine variable Größe [mm] d_{1} [/mm] bzw. [mm] d_{2}.
[/mm]
Als Parametrisierung der kartesischen Koordinaten habe ich
[mm] $x_{1}(t) [/mm] = [mm] -L_{1}*\sin(\alpha_{2}(t))$
[/mm]
[mm] $y_{1}(t) [/mm] = [mm] L_{1}*\cos(\alpha_{2}(t))*\sin(\alpha_{1}(t))$
[/mm]
[mm] $z_{1}(t) [/mm] = [mm] -L_{1}*\cos(\alpha_{2}(t))*\cos(\alpha_{1}(t))$
[/mm]
Unteres Pendel analog. Damit liegen an den x-Achsen-Enden Singularitäten vor, d.h. dort ist die Parametrisierung nicht bijektiv.
Nun wollte ich wie gesagt gern die Reibung einbinden. Insbesondere wäre das eben mit dem Lagrange-Formalismus gut, weil ich die "linke Seite" schon ausführlich berechnet habe. Jetzt müsste praktisch nur die "rechte Seite" dazu.
Danke für Eure Hilfe,
Stefan.
PS.: Ich weise darauf hin, dass dies Inhalt meiner Facharbeit ist!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Doing |
hallo,
wie hast du denn die linke seite gelöst? hast du da die nichtlinearen Terme entwickelt?
wie ich schon sagte, wäre mein vorschlag erstmal die reibung anzunemhmen als [mm] F_i = -\gamma m \dot x_i [/mm] und dann das erstmal berechnen, und sich dann weitere gedanken machen.
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