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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Do 04.06.2009 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe | Bestimme die kürzeste Entfernung der Hyperbel [mm]x^2+8xy+7y^2=225[/mm] zum Ursprung.
Ansatz: : Löse das Problem mit Lagrangescher Methode.
Berechne den minimalen Wert von [mm]x^2+y^2[/mm](ist das Quadrat des Abstandes eines beliebigen Punktes der Ebene vom Ursprung) unter der Nebenbedingung [mm]x^2+8xy+7y^2=225[/mm]
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Haloa an alle!
Oben stehende Aufgabe möchte ich zu später Stunde noch lösen, bekomme aber bei Anwendung von Lagrange seltsame Werte für x, y und [mm] \lambda.
[/mm]
Meine part. Ableitungen der Fkt. [mm]L(x,y,\lambda)=x^2+y^2+\lambda*(225-x^2-8xy-7y^2)[/mm] lauten:
[mm]L_{x}=2x-2\lambda*x-8\lambda*y[/mm]
[mm]L_{y}=2y-8\lambda*x-14y\lambda[/mm]
[mm]L_{\lambda}=225-x^2-8xy-7y^2[/mm]
Ich bekomme für x und y jeweils 0 heraus, was irgendwie unsinnig ist, oder?!
Ich sehe leider gerade meinen Fehler nicht und hoffe auf eure Hinweise!
Danke und schönen Abend noch!
Ruffy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Do 04.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Meine part. Ableitungen der Fkt. [mm]L(x,y,\lambda)=x^2+y^2+\lambda*(225-x^2-8xy-7y^2)[/mm] lauten:
>
> [mm]L_{x}=2x-2\lambda*\red{y}-8\lambda*y[/mm]
>
> [mm]L_{y}=2y-8\lambda*x-14y\lambda[/mm]
>
> [mm]L_{\lambda}=225-x^2-8xy-7y^2[/mm]
Ich sehe in der ersten partiellen Ableitung einen kleinen - aber vielleicht alles entscheidenden - Fehler.
Die Lagrange-Funktion lautet:
[mm] L(x,y,\lambda)=x^2+y^2+\lambda*(225-x^2-8xy-7y^2)=x^2+y^2+225*\lambda-\lambda*x^2-8\lambda*x*y-7\lambda*y^2
[/mm]
Dann ist doch
[mm] L_{x}=2x-2*\lambda*\red{x}-8\lambda*y
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Fr 05.06.2009 | | Autor: | RuffY |
Danke für deine Antwort, barsch!
Ich hatte mich beim Erstellen des Artikels wohl verschrieben, sorry! Ich habe genau das, was du ausgeführt hast, aber es macht keinen Sinn, dass x u. y = 0 werden, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
x=0 und y=0 sind keine Lösungen, da die Nebenbedingung
[mm] L_{\lambda}:=225-x^2-8xy-7y^2=0 [/mm] nicht erfüllt wird.
Ich würde aus den beiden ersten Gleichungen [mm] L_x=0 [/mm] und [mm] L_y=0 [/mm] die Variable [mm] {\lambda} [/mm] eliminieren. Dann erhälst Du eine Gleichung für x und y. Zusammen mit der Nebenbedingung hast Du also zwei Gleichungen für x und y in der jeweils x bzw. y mit höchster Potenz 2 auftritt. Also kann man diese zwei quadratischen Gleichungen z.B. nach x in Abhängigkeit von y auflösen und die beiden Lösungen gleich setzen. Damit erhält man eine Gleichung in y und kommt so auf die Lösungen.
mfg ullim
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> Ich sehe leider gerade meinen Fehler nicht und hoffe auf
> eure Hinweise!
Hallo,
Deinen Fehler können wir natürlich auch nur sehen, wenn Du uns Deine Rechnung zeigst.
Allgemeine Hinweise:
Ein Fehler, der sehr oft gemacht wird, ist daß unbemerkt durch 0 dividiert wird, z.B. wenn man durch (4x-5y) dividiert. Bei sowas muß man immer notieren [mm] 4x\not=5y, [/mm] und der Fall 4x=5y wäre dann später zu untersuchen.
Ein sehr beliebter Fehler ist auch [mm] "x^2=y^2 [/mm] ==> x=y", er hat mehrere Verwandte.
Bei solchen Gleichungssystemen ist ein systematisches Vorgehen und ein ordentlicher Aufschrieb sehr hilfreich, weil man sonst leicht den Überblick und damit Lösungen verliert.
Gruß v. Angela
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