Lagebeziehung Gerade/Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
wenn ich die Lagebezieung zwischen der Ebene E un der Geraden g untersuchen soll, kann ich dann so vorgehen?
e:x=(1|0|0)+r(0|1|0)+s(0|0|1)
g:x=(0|-2|0)+t(0|-1|1)
1. prüfen, ob komplanar
1. 0=1+0+0
2.-1=r => r=-1
3.1=+s => s=1
Folgerung komplanar !!!
2. prüfen, ob identisch
1. 0=1+0+0
2. -2=0+r => r=-2
3. 0=+s => s=0
Folgerung: nicht identisch, die Gerade liegt außerhalb der Ebene, ist aber parallel zu Ihr.
Stimmt meine rechnung soweit
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Hi, tobi,
> Hallo,
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> wenn ich die Lagebezieung zwischen der Ebene E un der
> Geraden g untersuchen soll, kann ich dann so vorgehen?
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> e:x=(1|0|0)+r(0|1|0)+s(0|0|1)
>
> g:x=(0|-2|0)+t(0|-1|1)
>
> 1. prüfen, ob komplanar
>
> 1. 0=1+0+0
> 2.-1=r => r=-1
> 3.1=+s => s=1
>
> Folgerung komplanar !!!
Oh! Aus der ersten Gleichung folgt aber ein Widerspruch: 0 = 1 (!!!)
Was hast Du eigentlich gleichgesetzt? Die Gerade und die Ebene?
Oder willst Du zeigen, dass sich der Richtungsvektor der Geraden durch die Richtungsvektoren der Ebene ausdrücken lässt?
In letzterem Fall wäre die Folgerung OK, aber die 1. Gleichung wäre:
0 = 0*r + 0*s (wahre Aussage!)
> 2. prüfen, ob identisch
>
> 1. 0=1+0+0
> 2. -2=0+r => r=-2
> 3. 0=+s => s=0
>
> Folgerung: nicht identisch, die Gerade liegt außerhalb der
> Ebene, ist aber parallel zu Ihr.
Diesmal ist klar, dass Du den Aufpunkt der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt. Nur: Wenn Du die beiden Parameter (r, s) ausrechnen kannst, und sich kein Widerspruch ergibt, dann liegt der Punkt in der Ebene und somit die ganze Gerade!
Der Widerspruch aber ist eben die 1. Gleichung: 1 = 0.
Damit sind die errechneten Werte für r und s unbrauchbar und der Punkt - und damit die Gerade - liegt nicht in der Ebene!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Tobi15 |
Danke für die schnelle Antwort.
Aber meine Folgerung ist doch trotzdem richtig, die Gerade liegt nicht in der Ebene. Sondern ist parallel zu Ihr.
Wenn die Gerade in der Ebene liegen würde, dann kann man ja den Schnittpunkt mit der Ebene ausrechnen. Dazu müsste ich dann e=g setzen.
Die Variablen r,s,t ausrechen und in die ursprüngliche Gleichung einsetzten?
Gruß
Tobi
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Hi, Tobi,
> Aber meine Folgerung ist doch trotzdem richtig, die Gerade
> liegt nicht in der Ebene. Sondern ist parallel zu Ihr.
Nur das ist richtig!
Das, was Du geschrieben hast, passt aber leider nicht dazu:
(1) Wäre Dein erster Ansatz richtig, wäre die Ebene gar nicht erst parallel zur Ebene (Achte auf meinen Hinweis mit dem Widerspruch!)
(2) Wären die beiden Werte für r und s (nämlich r=-2 und s=0) richtig, würde der Aufpunkt der Geraden in der Ebene drinliegen und die Gerade könnte somit nicht echt parallel zur Ebene liegen. Logisch?
> Wenn die Gerade in der Ebene liegen würde, dann kann man ja
> den Schnittpunkt mit der Ebene ausrechnen. Dazu müsste ich
> dann e=g setzen.
> Die Variablen r,s,t ausrechen und in die ursprüngliche
> Gleichung einsetzten?
Richtig!
Und würdest Du dies hier tun, kämst Du auch auf einen Widerspruch!
r, s und t lassen sich nicht (oder zumindest nicht ohne Widerspruch) berechnen. Das erscheint mir übrigens die sicherste Methode, Deine Aufgabe zu lösen!
Aber auf Deinem Weg geht's auch: Du musst nur "nachbessern":
Bei 1. stimmt die Gleichung (1) nicht;
bei 2. musst Du erkennen, dass trotz der berechneten Werte von r und s das Gleichungssystem auf einen Widerspruch führt!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Tobi15 |
Danke für die umfangreiche Antwort.
Okey ich verstehe die 1. Gleichung muss falsch seien, da widerspruch (0=1!) somit sind die Gleichungen nicht komplanar. Ich kann mir also 2. sparen un muss direkt den Schnittpunkt suchen?
Den Schnittpunkt bekomme ich durch gleichsetzten von e=g.
Aber wenn ich diese gleichsetze habe ich ja schon wieder einen Widerspruch in der 1. Zeile (1=0).
Was kann ich denn jetzt als Ergebnis, in Beziehung auf die Lage der Geraden festhalten? Sind die dann windschief???
Oder gibt es einfach kein Ergebnis?
Gruß
Tobi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Disap |
Guten Abend Tobi25.
> Danke für die umfangreiche Antwort.
>
> Okey ich verstehe die 1. Gleichung muss falsch seien, da
> widerspruch (0=1!) somit sind die Gleichungen nicht
> komplanar. Ich kann mir also 2. sparen un muss direkt den
> Schnittpunkt suchen?
>
> Den Schnittpunkt bekomme ich durch gleichsetzten von e=g.
>
> Aber wenn ich diese gleichsetze habe ich ja schon wieder
> einen Widerspruch in der 1. Zeile (1=0).
>
> Was kann ich denn jetzt als Ergebnis, in Beziehung auf die
> Lage der Geraden festhalten? Sind die dann windschief???
Wie Zwerglein dir schon versucht hat zu sagen, ist die Gerade parallel zur Ebene. Das Problem lag nur daran, dass deine Methode falsch war, dieses zu zeigen.
Es bleiben dir zwei Möglichkeiten, um zu zeigen, dass die Gerade zur Ebene parallel oder identisch ist oder schneidet (Eine Gerade ist niemals Windschief zu einer Ebene. Den Fall gibts nicht.):
Nun setzt du sie entweder gleich, was du gemacht hast.
Erhälst du keine Lösung, dann ist die Gerade parallel zur Ebene, da es keinen gemeinsamen Punkt gibt (oder du hast dich verrechnet  )
Erhälst du eine Lösung, dann schneidet die Gerade die Ebene
Erhälst du unendlich viele Lösungen, dann liegt die Gerade in der Ebene.
Um dir die zweite Möglichkeit zu zeigen, die ich befürworte, musst du aber wissen, was das Skalarprodukt ist.
Wenn der Normalenvektor der Ebene den Richtungsvektor der Geraden senkrecht schneidet, dann ist die Ebene parallel zur Geraden (oder identisch -> was man dann durch die Punktprobe prüft).
Sofern du schon weißt, was der Normalenvektor ist, ansonsten vergiss es einfach wieder.
> Oder gibt es einfach kein Ergebnis?
Es gibt kein ERgebnis, da die Gerade parallel zur Ebene ist.
Aaaaachso, was mich auf Möglichkeit Nummer 3 bringt, um zu zeigen, ob eine Gerade parallel zur Ebene ist.
Man berechnet einfach den Abstand. Kriegt man einen Abstand heraus, ist die parallel, kommt als Abstand null heraus, schneidet die Gerade die Ebene oder ist identisch.
Wie weit du mit diesen Themen vertraut bist, weiss ich ja leider nicht.
Alles klar?
> Gruß
>
> Tobi
Gruß
Disap
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