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| Aufgabe | Untersuchen Sie sich gegenseitig Lage der Ebene [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] . Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden.
a) [mm] E_1:\vec{x}=\vektor{4 \\ 1 \\ 1}+r_1*\vektor{1 \\ 0 \\ 5}+s_1\vektor{-2 \\ 3 \\ 7} [/mm] , [mm] E_2:\vec{x}=\vektor{-8 \\ 13 \\ 9}+r_2*\vektor{-8 \\ 1 \\ 5}+s_2\vektor{2 \\ 1 \\ -4} [/mm] |
Hallo zusammen, ich habe die obige Aufgabe mal nachgerechnet, aber meine Lösung weicht von der im Lösungsbuch ab. Vielleicht findet ja jemand meinen Fehler.
Ich bin so vorgegangen:
1.Schritt: Ich habe die Spannvektoren der beiden Ebenen auf lineare Unabhängigkeit überprüft:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 5}=r*\vektor{-8 \\ 1 \\ 5}+s*\vektor{2 \\ 1 \\ -4}
[/mm]
Lösungssystem: 1=-8r+2s; 0=r+s (daraus folgt: r=0-s); 5=5r-4s (daraus folgt: [mm] r=1+\bruch{4}{5}s [/mm] )
da ich beide Gleichungen nach r aufgelöst habe, habe ich sie anschließend gleichgesetzt. --> [mm] 0-s=1+\bruch{4}{5}*s [/mm] (daraus folgt: [mm] s=\bruch{-5}{9})
[/mm]
Dieses Ergebnis habe ich dann in die Gleichung r=0-s eingesetzt ergibt: [mm] r=\bruch{-5}{9}
[/mm]
Diese beiden Zahlen in die Ausgangsgleichung einsetzen!
Da [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 5}\not=\vektor{\bruch{50}{9} \\ 0 \\ -5}
[/mm]
sind die Vektoren linear unabhängig, somit schneiden sich die beiden Ebenen!
2.Schritt: Da ich es nicht so gut kann, zwei Parameterformen gleichzusetzen, habe ich die erste Ebene in Koordinatenform umgewandelt.
Zunächst habe ich den Normalenvektor zu beiden Spannvektoren der ersten Ebene gesucht.
[mm] \vec{n}*\vec{u}=0 [/mm] v [mm] \vec{n}*\vec{v}
[/mm]
Lösungssystem: [mm] n_1+5n_3=0 [/mm] (für Vektor [mm] \vec{u}) [/mm] und [mm] -2n_1+3n_2+7n_3=0 [/mm] (für Vektor [mm] \vec{v}) [/mm] die erste Gleichung habe ich dann mit -2 multipliziert, damit sich die Variable [mm] n_1 [/mm] beim Subtraktionsverfahren wegkürzt.
Somit bleiben nach diesem Verfahren übrig: [mm] -3n_2-17n_3=0
[/mm]
für [mm] n_2 [/mm] habe ich die 17 gewählt. Eingesetzt in die Gleichung ergibt das für [mm] n_3=-3.
[/mm]
Anschließend habe ich die beiden Zahlen in die Ausgangsgleichung des Vektore u eingesetzt. [mm] -2n_1-10*(-3)=0 [/mm] für [mm] n_1 [/mm] folgt 15.
Mit diesem Normalenvektor habe ich dann eine Koordinatengleichung aufgestellt: [mm] 15x_1+17x_2-3x_3=b
[/mm]
den Aufpunkt der Ebene [mm] E_1 [/mm] in die Gleichung eingesetzt ergibt für b=74
KOORDINATENGLEICHUNG: [mm] 15x_1+17x_2-3x_3=74
[/mm]
3.Schritt: Nun habe ich die Ebene [mm] E_2 [/mm] nach [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] aufgelöst.
[mm] x_1=-8-8r+2s; x_2=13+r+s; x_3=9+5r-4s
[/mm]
diese habe ich in die Koordinatengleichung der Ebene [mm] E_1 [/mm] eingesetzt:
15*(-8-8r+2s)+17*(13+r+s)-3*(9+5r-4s)=74
Daraus ergibt sich für s=2r
Dieses habe ich in die Ebene [mm] E_1 [/mm] eingesetzt:
[mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 1}+r*\vektor{1 \\ 0 \\ 5}+2r*\vektor{-2 \\ 3 \\ 7}
[/mm]
= [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 1}+r*\vektor{1 \\ 0 \\ 5}+\vektor{-4r \\ 6r \\ 14r}
[/mm]
= [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 1}+r*\vektor{1 \\ 0 \\ 5}+r*\vektor{-4 \\ 6 \\ 14}
[/mm]
Somit ist die Schnittgerade:
[mm] g:\vec{x}= \vektor{4 \\ 1 \\ 1}+r*\vektor{-3 \\ 6 \\ 19}
[/mm]
Im Lösungsbuch steht jedoch:
[mm] g:\vec{x}= \vektor{-8 \\ 13 \\ 9}+r*\vektor{-4 \\ 3 \\ -3}
[/mm]
Und diese beiden Geraden sind ja nicht identisch!! Wo liegt also mein Fehler?
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Mi 24.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Untersuchen Sie sich gegenseitig Lage der Ebene [mm]E_1[/mm] und [mm]E_2[/mm]
> . Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Gleichung der
> Schnittgeraden.
> a) [mm]E_1:\vec{x}=\vektor{4 \\ 1 \\ 1}+r_1*\vektor{1 \\ 0 \\ 5}+s_1\vektor{-2 \\ 3 \\ 7}[/mm]
> , [mm]E_2:\vec{x}=\vektor{-8 \\ 13 \\ 9}+r_2*\vektor{-8 \\ 1 \\ 5}+s_2\vektor{2 \\ 1 \\ -4}[/mm]
>
> Hallo zusammen, ich habe die obige Aufgabe mal
> nachgerechnet, aber meine Lösung weicht von der im
> Lösungsbuch ab. Vielleicht findet ja jemand meinen Fehler.
>
> Ich bin so vorgegangen:
> 1.Schritt: Ich habe die Spannvektoren der beiden Ebenen
> auf lineare Unabhängigkeit überprüft:
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 5}=r*\vektor{-8 \\ 1 \\ 5}+s*\vektor{2 \\ 1 \\ -4}[/mm]
>
> Lösungssystem: 1=-8r+2s; 0=r+s (daraus folgt: r=0-s);
> 5=5r-4s (daraus folgt: [mm]r=1+\bruch{4}{5}s[/mm] )
> da ich beide Gleichungen nach r aufgelöst habe, habe ich
> sie anschließend gleichgesetzt. --> [mm]0-s=1+\bruch{4}{5}*s[/mm]
> (daraus folgt: [mm]s=\bruch{-5}{9})[/mm]
>
> Dieses Ergebnis habe ich dann in die Gleichung r=0-s
> eingesetzt ergibt: [mm]r=\bruch{-5}{9}[/mm]
> Diese beiden Zahlen in die Ausgangsgleichung einsetzen!
> Da [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 5}\not=\vektor{\bruch{50}{9} \\ 0 \\ -5}[/mm]
>
> sind die Vektoren linear unabhängig, somit schneiden sich
> die beiden Ebenen!
>
> 2.Schritt: Da ich es nicht so gut kann, zwei
> Parameterformen gleichzusetzen, habe ich die erste Ebene in
> Koordinatenform umgewandelt.
>
> Zunächst habe ich den Normalenvektor zu beiden
> Spannvektoren der ersten Ebene gesucht.
> [mm]\vec{n}*\vec{u}=0[/mm] v [mm]\vec{n}*\vec{v}[/mm]
>
> Lösungssystem: [mm]n_1+5n_3=0[/mm] (für Vektor [mm]\vec{u})[/mm] und
> [mm]-2n_1+3n_2+7n_3=0[/mm] (für Vektor [mm]\vec{v})[/mm] die erste Gleichung
> habe ich dann mit -2 multipliziert, damit sich die Variable
> [mm]n_1[/mm] beim Subtraktionsverfahren wegkürzt.
> Somit bleiben nach diesem Verfahren übrig: [mm]-3n_2-17n_3=0[/mm]
> für [mm]n_2[/mm] habe ich die 17 gewählt. Eingesetzt in die
> Gleichung ergibt das für [mm]n_3=-3.[/mm]
> Anschließend habe ich die beiden Zahlen in die
> Ausgangsgleichung des Vektore u eingesetzt. [mm]-2n_1-10*(-3)=0[/mm]
> für [mm]n_1[/mm] folgt 15.
>
> Mit diesem Normalenvektor habe ich dann eine
> Koordinatengleichung aufgestellt: [mm]15x_1+17x_2-3x_3=b[/mm]
> den Aufpunkt der Ebene [mm]E_1[/mm] in die Gleichung eingesetzt
> ergibt für b=74
> KOORDINATENGLEICHUNG: [mm]15x_1+17x_2-3x_3=74[/mm]
>
bis hierher ist alles bestens.
jetzt mußt du aber E2 (!) in E1 einsetzen:
[mm]15(-8-8s+2t)+17(13+s+t)-3(9+5s-4t)=74\to t=2s[/mm]
zusammenfassen liefert das gewünschte wie im
> Lösungsbuch :
> [mm]g:\vec{x}= \vektor{-8 \\ 13 \\ 9}+r*\vektor{-4 \\ 3 \\ -3}[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Hallo, erst mal vielen Dank für deine Hilfe, aber ich weiß nicht wie du auf s und t kommst.
in meinem Fall ist das "s" nämlich das" r" und das "t" ist das "s"...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 24.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Hallo, erst mal vielen Dank für deine Hilfe, aber ich weiß
> nicht wie du auf s und t kommst.
>
> in meinem Fall ist das "s" nämlich das" r" und das "t" ist
> das "s"...
>
>
na das sollte aber offensichtlich sein.
ich war einfach zu faul, steht für [mm] s_2 [/mm] und [mm] r_2, [/mm]
wie ich die ebenenparameter nenne ist doch egal
und auch anschließend, wie ich den parameter der geraden nenne.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Sarah288 |
Sorry, habs jetzt raus!!
Kannst du mir vielleicht noch erklären, warum ich das in die zweite und nicht in die erste Ebene einsetzen muss. Bei allen anderen Aufgaben, die ich gerechnet habe, hat das nämlich funktioniert.
Liebe Grüße und vielen Dank, Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Sorry, habs jetzt raus!!
>
> Kannst du mir vielleicht noch erklären, warum ich das in
> die zweite und nicht in die erste Ebene einsetzen muss. Bei
> allen anderen Aufgaben, die ich gerechnet habe, hat das
> nämlich funktioniert.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank, Sarah
Dein Fehler liegt beim Schritt 3.
>3.Schritt: Nun habe ich die Ebene nach und aufgelöst.
>diese habe ich in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt:
>15*(-8-8r+2s)+17*(13+r+s)-3*(9+5r-4s)=74
>Daraus ergibt sich für s=2r
Hier sollte nicht r und s stehen, sondern [mm] r_{2} [/mm] und [mm] s_{2}. [/mm] Das sind die Parameter für 2. Ebene.
Also [mm] s_{2} [/mm] = [mm] 2r_{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Mi 24.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Sorry, habs jetzt raus!!
>
> Kannst du mir vielleicht noch erklären, warum ich das in
> die zweite und nicht in die erste Ebene einsetzen muss. Bei
> allen anderen Aufgaben, die ich gerechnet habe, hat das
> nämlich funktioniert.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank, Sarah
hallo sarah,
das scheint mir ein mißverständnis zu sein.
ich habe es genau umgekehrt geschrieben und gemeint.
da du E1 in koordinatenform gebracht hast, mußt du jetzt E2 einsetzen.
das ist klar, da du ja die beiden ebenen schneiden willst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 26.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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