Länge der < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie die Länge der Archimedischen Spirale [mm] \gamma :[0,2\pi]->\IR^2,
[/mm]
[mm] \gamma(t)=(c*t*(cos(t)),c*t*sin(t)),
[/mm]
wobei c>0. |
Hallo,
ich habe nur den Anfang:
[mm] \gamma(t)=(c*t*(cos(t)),c*t*sin(t)) [/mm]
[mm] \gamma'(t)= [/mm] (-sin(t)ct, cos(t)ct)+ (cos(t)*c,sin(t)*c)
[mm] \parallel\gamma'(t)\parallel_2 [/mm] = [mm] \wurzel{(-sin(t)ct)^2+ (cos(t)ct)^2 + (cos(t)*c)^2 +(sin(t)*c)^2)}=
[/mm]
[mm] \wurzel{(ct)^2 + c^2}
[/mm]
Hmm, ich glaube nicht dass das in die richtige Richtung geht...
Liebe Grüße
sommersonne
|
|
| |
|
> Berechnen Sie die Länge der Archimedischen Spirale [mm]\gamma :[0,2\pi]->\IR^2,[/mm]
>
> [mm]\gamma(t)=(c*t*(cos(t)),c*t*sin(t)),[/mm]
> wobei c>0.
> Hallo,
>
> ich habe nur den Anfang:
> [mm]\gamma(t)=(c*t*(cos(t)),c*t*sin(t))[/mm]
> [mm]\gamma'(t)=[/mm] (-sin(t)ct, cos(t)ct)+ (cos(t)*c,sin(t)*c)
Hallo,
ich glaube, Du tätest Dir etwas leichter, wenn du die vektoren als Spalten schreiben würdest. Es sit zwar mühsam, aber um Klassen übersichtlicher - für meinen geschmack.
Du hast also [mm] \gamma(t)=\vektor{c*t*(cos(t)\\c*t*sin(t)} [/mm] mit [mm] t\in [0,2\pi]
[/mm]
es ist [mm] \gamma'(t)=ct\vektor{-\sin(t)\\ \cos(t)} +c\vektor{\cos(t)\\ \sin(t)}=c\vektor{-t*\sin(t)+\cos(t)\\ t*cos(t)+\sin(t)}, [/mm] und das ist auch Dein Ergebnis.
Für die Bogenlänge mußt Du nun über die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten summieren.
Da unten hast du jetzt irgendwie das Integral vergessen, ich hoffe, auch, daß Du bim Quadrieren der Komponenten die binomische Formel beachtet hast und daß das nicht nur zufällig richtig ist.
Jedenfalls muß jetzt integriert werden.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\parallel\gamma'(t)\parallel_2[/mm] = [mm]\wurzel{(-sin(t)ct)^2+ (cos(t)ct)^2 + (cos(t)*c)^2 +(sin(t)*c)^2)}=[/mm]
>
> [mm]\wurzel{(ct)^2 + c^2}[/mm]
>
> Hmm, ich glaube nicht dass das in die richtige Richtung
> geht...
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für deine Antwort.
Wenn man das Integral
[mm] L(\gamma)=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{c^2t^2+c^2} dx} [/mm] ausrechnet, hat man nur ein Problem, nämlich das verbotene "durch Null teilen":
[mm] L(\gamma)=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{c^2t^2+c^2} dx} [/mm] = [mm] [\bruch{(c^2t^2 + c^2)^{3/2}}{(3/2) *2c^2t}] [/mm] = [mm] \bruch{(c^2(2\pi)^2 + c^2)^{3/2}}{(3/2) *2c^2*2\pi} [/mm] - [mm] \bruch{( c^2)^{3/2}}{(3/2) *2c^2*0}
[/mm]
Liebe Grüße
sommersonne
|
|
|
| |
|
> Wenn man das Integral
> [mm]L(\gamma)=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{c^2t^2+c^2} dx}[/mm]
> ausrechnet, hat man nur ein Problem, nämlich das verbotene
> "durch Null teilen":
> [mm]L(\gamma)=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{c^2t^2+c^2} dx}[/mm] =
> [mm][\bruch{(c^2t^2 + c^2)^{3/2}}{(3/2) *2c^2t}][/mm] =
> [mm]\bruch{(c^2(2\pi)^2 + c^2)^{3/2}}{(3/2) *2c^2*2\pi}[/mm] -
> [mm]\bruch{( c^2)^{3/2}}{(3/2) *2c^2*0}[/mm]
>
Hallo,
erstmal völlig unabhängig vom Integral: Du solltest unbedingt ein bißchen Bruchrechnen und Termumformungen üben.
Sowas [mm] [\bruch{(c^2t^2 + c^2)^{3/2}}{(3/2) *2c^2t}] [/mm] ist so unnötig kompliziert, und damit fehlerträchtig.
Du kannst hier Konstanten herausziehen: [mm] \bruch{(c^2t^2 + c^2)^{3/2}}{(3/2) *2c^2t}=\bruch{2c^3}{3*2c^2}*\bruch{(t^2 + 1)^{3/2}}{ t}=\bruch{c}{3}*\bruch{(t^2 + 1)^{3/2}}{ t}
[/mm]
Nun könntest Du dies mal ableiten und schauen, ob wirklich [mm] \wurzel{c^2t^2+c^2} [/mm] herauskommt - ich habe da so meine Zweifel...
Zunächst einmal wurde ich mir [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{c^2t^2+c^2} dx} [/mm] schreiben als [mm] c\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^2+1} dx}, [/mm] das sieht doch auch schon freundlicher aus.
zur Lösung dieses Integrals gibt es wahrscheinlich mehrere Möglichkeiten, eine, die nicht funktioniert, sag' ich Dir: Stammfunktion der Wurzelfunktion suchen, [mm] t^2+1 [/mm] einsetzen, und als Korrektur durch die Ableitung von [mm] t^2+1 [/mm] teilen - und genau dieses "Verfahren" hast Du oben verwendet.
Für [mm] c\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{t^2+1}} [/mm] dx wirst Du wohl substituieren müssen, eventuell geht's auch partiell, wenn man's geschickt einfädelt, da bin ich mir grad nicht so sicher.
(Alternativ könnte man natürlich im Bronstein nachgucken - wenn Ihr das dürft.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für deine Antwort!
Du hast recht, ich sollte mal wieder die Schulmathematik üben... Aber jetzt komme ich weiter.
Danke.
Liebe Grüße
sommersonne
|
|
|
|
