Ladungsverstärker und Piezo < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Ges: Ua(t) + Zeichnung |
Ich würde gerne wissen ob mein Lösungsweg korrekt ist?
Knotenpunktgleichung aufgestellt:
ie(t)+ic(t)+ir(t)=0
[mm] i_e(t)=\bruch{dQ(t)}{dt}
[/mm]
[mm] i_r(t)=\bruch{U_R(t)}{R}
[/mm]
[mm] i_c(t)=C_g*\bruch{dU_C(t))}{dt}
[/mm]
[mm] -U_a(t)+U_{CR}(t)=0
[/mm]
[mm] U_a(t)=U_{CR}(t)=U_C(t)=U_R(t)
[/mm]
[mm] \bruch{dQ(t)}{dt}+\bruch{U_a(t)}{R}+C\bruch{dU_a(t)}{dt}=0
[/mm]
[mm] C_g*\bruch{dU_a(t))}{dt}= -\bruch{dQ(t)}{dt}-\bruch{U_a(t)}{R}
[/mm]
Hier ist das eigentliche Problem wie löse ich sowas?
Im grunde müss ich doch nur jeden SUmmand integrieren.
dann hätte ich
[mm] C_g*U_a(t)=-Q(t)-\bruch{1}{R}*\integral_{0}^{t}{U_a(t) dt}
[/mm]
[mm] U_a(t)=-\bruch{1}{C_g} [/mm] [ [mm] Q(t)+\bruch{1}{R}*\integral_{0}^{t}{U_a(t) dt} [/mm] ]
Habs danach so versucht, das ich mir zuerst überlegt habe was zum Zeitpunkt t=0 los wäre.
Spannung am Kondensator kann sich nicht sprunghaft ändern also muss die Spannung am U_CG=0 sein und [mm] Q(t)=Q_0
[/mm]
[mm] U_a(t)=-\bruch{Q_0}{C_g} [/mm] <- zum Zeitpunkt t=0
und füt t -> [mm] \infty [/mm] sollte sich [mm] C_g [/mm] über [mm] R_g [/mm] entladen
mit [mm] \tau=R_g*C_g
[/mm]
damit ist meiner Meinung nach [mm] U_a(t)=-\bruch{Q_0}{C_g}*e^{-\bruch{t}{\tau}}
[/mm]
Nur bin ich mir da noch nicht so sicher wenn doch Ua(t)= 0 ist muss es auf der linken seite auch 0 sein ?
Ist das so in Ordnung?
Vielen Dank schon mal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo energizer,
das Vorgehen ist von der Idee her okay, allerdings hast Du einmal beim Strom durch den Widerstand geschlampt, da taucht keine Ableitung auf: Du hast also:
[mm] C \bruch{ dU_a}{dt} - \bruch{U_a}{R} = - \bruch{dQ}{dt} [/mm]
Dies ist eine inhomogene DGL 1. Ordnung.
Viele Grüße,
Infinit
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Hi Infinit vielen Dank für die Korrektur, komisch das mir das nicht aufgefallen ist , hatte das richtige auf dem Blatt Papier stehen, muss ich besser aufpassen.
> Hallo energizer,
> ... Du hast also:
> [mm]C \bruch{ dU_a}{dt} - \bruch{U_a}{R} = - \bruch{dQ}{dt}[/mm]
> Dies ist eine inhomogene DGL 1. Ordnung.
> Viele Grüße,
> Infinit
Wieso ist es den [mm] -\bruch{Ua}{R} [/mm] muss das nicht + sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo energizer,
da habe ich nicht aufgepasst. Mit Deiner Stromzählrichtung fließt alles in den Knoten und so ergibt sich wirklich
[mm] C \bruch{ dU_a}{dt} + \bruch{U_a}{R} = - \bruch{dQ}{dt} [/mm]
Dann weiter mit Lösung der homogenen DGL mit dem charakteristischen Polynom
[mm] C \lambda + \bruch{1}{R} = 0 [/mm]
woraus man eine bekannte Zeitkonstante bekommt und damit die homogene Lösung
[mm]U_a(t) = K e^{\bruch{-t}{RC}}[/mm]
Der Verlauf von Q ist ja gegeben und lässt sich ableiten.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Mi 28.09.2011 | | Autor: | energizer |
Ok vielen Dank.
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