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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Do 15.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | Zu der gegebenen Schaltung sind folgende Dinge zu bestimmen:
i) Die Stromstärke unmittelbar nach dem Schließen des Schalters S.
ii) Die Stromstärke lange Zeit danach.
iii) Den Verlauf der Stromstärke durch den 600 Ohm Widerstand.
![[]](/images/popup.gif) Schaltbild (Aufgabe 2)
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Hallo ihr!
Hab mich mal an diese Aufgabe gemacht, und bevor ich Teil iii) in Angriff nehme, wollte ich nur mal fragen, ob mir jemand das bisher gedachte und gerechnete bestätigen bzw. korrigieren kann!
Ich gehe einfach mal davon aus (da keine anderen Angaben gemacht werden), dass der Kondensator zum Zeitpunkt t=0 entladen ist.
Da wir uns in einem Gleichstromnetzwerk befinden, habe ich mir nun die folgenden Dinge gedacht:
Unmittelbar nach Schließen des Schalters ist der Kondensator völlig entladen. D.h., er schließt die Punkte A (linker Knotenpunkt) und B (rechter Knotenpunkt) kurz, d.h. er stellt eine gewöhnliche Leitung dar und der Strom fließt durch den 200 Ohm Wiederstand und dann direkt über diese "Leitung" zurück.
Folglich wäre der Strom ganz am Anfang: [mm] I_{t=0}=\bruch{50V}{200Ohm}=250mA.
[/mm]
Nach langer Zeit ist der Kondensator vollständig geladen. D.h. er unterbricht den Stromkreis zwischen A und B und der Strom fließt zur Gänze durch die Reihenschaltung der beiden Ohm'schen Widerstände.
Daraus würde für den Strom folgen:
[mm] I_{t=\infty}=\bruch{50V}{200Ohm+600Ohm}=62,5mA.
[/mm]
Würde mich freuen, wenn mir jemand eine kurze Rückmeldung gibt, ob ich völlig amok-gerechnet habe. 
Lg, Kübi
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Das ist richtig so!
Edit: Wenn du denkst, für den dritten Teil eine Lösung zu haben, solltest du sie testen: Die EXP-Funktion ist anfangs 1, zum Schluß 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Do 15.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kübi und EH
Die letzte Bemerkung von EH kann man missverstehen: I(t) ist natürlich nicht am Ende 0 sondern dein ausgerechneter Wert. Nur die vorkommend exp. fkt, ist wie alle mit neg. exponenten für t=01 und t gegen [mm] \infty [/mm] 0.
zu Kübi: "C ist vollständig aufgeladen" ist physikalisch nicht korrekt, richtig wäre so was wie: auf seine Endspannung von 37,5V aufgeladen. Ein Kondensator ist nie einfach vollständig aufgeladen, ist aber klar, dass du das richtige meinst.
Auch im ersten Teil ist besser von Anfangswiderstand 0 als von einer "durchgehenden Leitung" zu reden, obwohl das anschaulich natürlich dasselbe ist,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Do 15.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr nochmal!
Danke für die Antwort und die genaueren Ausführungen.
Ich habe mich jetzt in die c) eingedacht...
Gemäß der Kirchhoff'schen Knotenregel gilt ja für den Gesamtstrom I im Netzwerk
[mm] I(t)=I_{C}(t)+I_{600}(t)
[/mm]
wobei [mm] I_{C} [/mm] der Strom im Kondensatorzweig und [mm] I_{600} [/mm] der Strom im Zweig des großen Widerstandes ist.
Es folgt durch Umfomrmen:
[mm] I_{600}(t)=I(t)-I_{C}(t).
[/mm]
Zusätzlich weiß ich aus den Ergebnissen von a) und b), dass [mm] I_{600}(t=0)=0 [/mm] ist und [mm] I_{600}(t=\infty)=62,5mA.
[/mm]
Für meinen [mm] I_{C}(t) [/mm] habe ich folgende Beziehung aufgestellt (Mit R=200Ohm und [mm] C=50{\mu F}: [/mm]
[mm] I_{C}(t)=I*e^{\bruch{-t}{R*C}}.
[/mm]
Leider bin ich mir noch nicht ganz im klaren, welcher Strom explizit den Vorfaktor I darstellt.
Mit dem wissen dass [mm] e^{\bruch{-t}{R*C}} [/mm] für t=0 1 ist, müsste ja dann mein Vorfaktor gleich sein wie mein I(t) um insgesamt 0 zu erhalten.
Nur komm ich jetzt nicht darauf wie ich I(t) allgemein ausdrücken kann! Ich gehe davon aus, dass I(t) eine Exp.-Funktion der Form [mm] Vorfaktor*e^{t} [/mm] ist, bin mir allerdings nicht sicher!
Vielleicht hat jemand noch einen kleinen Tipp oder einen Hinweis auf ein Fehldenken meinerseits.
Vielen Dank!
Lg, Kübi
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Ich denke nicht, daß du den Ansatz
$ [mm] I_{C}(t)=I\cdot{}e^{\bruch{-t}{R\cdot{}C}}. [/mm] $
benutzen kannst.
Erstens hast du das R, das du dir nun leider mit dem Parallelwiderstand teilen mußt! Deshalb kann das nicht so einfach da rein.
Dann ist da noch dein I. Das ließe sich ja noch irgendwie herausbekommen, aber ein Problem ist immernoch, daß der serielle Widerstand anfangs nur für den Kondensator Strom liefert, dann aber während der Aufladung langsam immer mehr für den Parallelwiderstand liefert, und immer weniger für den Kondensator.
Ich hab mir mal ein paar Gedanken gemacht, die zu einer Differenzialgleichung führen:
Wenn der Kondensator zur Zeit t eine Ladung $Q(t)$ trägt, so hat er die Spannung [mm] $U_C(t)$ [/mm] und es gilt
[mm] $Q(t)=\bruch{U_C(t)}{C}$ [/mm] (schon aus der Definition der Kapazität)
Für den Strom gilt am Kondensator: [mm] $I=\dot [/mm] Q$
also fließt durch den Kondensator
[mm] $I_C(t)=\dot Q(t)=\bruch{\dot U_C(t)}{C}$
[/mm]
Am Parallelwiderstand liegt natürlich auch die Spannung [mm] $U_C(t)$ [/mm] an, und somit fließt durch ihn der Strom
[mm] $I_P(t)=\bruch{U_C(t)}{R_P}$
[/mm]
Somit haben wir den Gesamtstrom [mm] $I_G(t)=\bruch{\dot U_C(t)}{C}+\bruch{U_C(t)}{R_P}$, [/mm] welcher am seriellen Widerstand die Spannung [mm] $U_S(t)=R_S I_G(t)$ [/mm] verursacht. Die Summe der Spannungen muß gleich der Versorgungsspannung sein, also
[mm] $U_{Vcc}=U_S(t)+U_C(t)$
[/mm]
[mm] $U_{Vcc}=R_S*\left( \bruch{\dot U_C(t)}{C}+\bruch{U_C(t)}{R_P}\right)+U_C(t)$
[/mm]
[mm] $U_{Vcc}=\bruch{R_S}{C}\dot U_C(t)+\left( \bruch{R_S}{R_P}+1\right) *U_C(t)$
[/mm]
Eine wunderschönde lineare DGL, die nun leider inhomogen ist, aber das ist wohl kein Problem.
Zwar kann man für den homogenen Teil eine EXP-Funktion ansetzen, aber deren Exponent sieht doch etwas anders als bei dir aus.
Ich hoffe nur, ich hab mich nicht verrant.
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