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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x}*(cot(x) [/mm] - [mm] \bruch{1}{x})
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} x^{tan \bruch{\pi*x}{2}} [/mm] |
Hallo,
ich weiß, dass ich bei beiden Aufgaben die Regeln von L'Hospital anwenden muss. Allerdings scheitert es hier schon daran, dass ich nur verstehe, was er aussagt wenn beide Teil-Funktionen g(x) und f(x) Grenzwert 0 haben.
Ok jetzt mal das, was ich mir soweit überlegt habe:
zu a) : Ich definiere f(x) jetzt mal als x und g(x) als (cot(x) - [mm] \bruch{1}{x})
[/mm]
Für beide gilt [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] g(x) = 0 und [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] f(x) = 0. Allerdings hab ich hier schon leichte Probleme zu zeigen, warum denn [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] f(x) = 0 gilt. Dazu müsste ich den cot(x) umschreiben, weil sonst teile ich durch 0.
Denn es gilt ja cot(x) = cos(x) / sin(x). und der sin(0) ist 0. Wie könnte ich das ganze also anders schreiben oder so umformen, dass mir dieser Grezwert keine Probleme mehr macht?
Dann muss ich nach L'Hospital ja nun [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{g'(x)}{f'(x)} [/mm] berechnen. Aber auch hier scheitert es daran, dass der sinus im Nenner stehen bleibt.
Laut Taschenrechner soll hier übrigens -1/3 rauskommen...
b) Hier muss ja der logischen Anschauung nach 1 rauskommen. Aber wie genau zeig ich das jetzt?
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
Grüße Lati
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Hallo Lati,
> Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
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> a) [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x}*(cot(x)[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{x})[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} x^{tan \bruch{\pi*x}{2}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich weiß, dass ich bei beiden Aufgaben die Regeln von
> L'Hospital anwenden muss. Allerdings scheitert es hier
> schon daran, dass ich nur verstehe, was er aussagt wenn
> beide Teil-Funktionen g(x) und f(x) Grenzwert 0 haben.
>
> Ok jetzt mal das, was ich mir soweit überlegt habe:
>
> zu a) : Ich definiere f(x) jetzt mal als x und g(x) als
> (cot(x) - [mm]\bruch{1}{x})[/mm]
> Für beide gilt [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] g(x) = 0 und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] f(x) = 0. Allerdings hab ich hier
> schon leichte Probleme zu zeigen, warum denn
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] f(x) = 0 gilt. Dazu müsste ich
> den cot(x) umschreiben, weil sonst teile ich durch 0.
> Denn es gilt ja cot(x) = cos(x) / sin(x). und der sin(0)
> ist 0. Wie könnte ich das ganze also anders schreiben oder
> so umformen, dass mir dieser Grezwert keine Probleme mehr
> macht?
>
> Dann muss ich nach L'Hospital ja nun [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{g'(x)}{f'(x)}[/mm]
> berechnen. Aber auch hier scheitert es daran, dass der
> sinus im Nenner stehen bleibt.
>
> Laut Taschenrechner soll hier übrigens -1/3 rauskommen...
Du hast hier einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm]\infty-\infty[/mm]
[mm]\limes_{x \rightarrow 0}\left( \ r\left(x\right)-s\left(x\right) \ \right)[/mm]
hat die Form [mm]\infty-\infty[/mm]
Formen wir den Ausdruck so um, daß L'Hospital angewendet werden kann.
[mm]\limes_{x \rightarrow 0}\left( \ r\left(x\right)-s\left(x\right) \ \right)=\limes_{x \rightarrow 0} \ \bruch{\bruch{1}{s\left(x\right)}-\bruch{1}{r\left(x\right)}}{\bruch{1}{s\left(x\right)}*\bruch{1}{r\left(x\right)}}[/mm]
, womit der Ausdruck auf die Form "[mm]\bruch{0}{0}[/mm]" zurückgeführt ist.
>
> b) Hier muss ja der logischen Anschauung nach 1 rauskommen.
> Aber wie genau zeig ich das jetzt?
>
Schreibe den Ausdruck erstmal etwas anders:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} x^{tan \bruch{\pi*x}{2}}=\limes_{x\rightarrow\ 1} e^{\tan\left( \bruch{\pi*x}{2}\right)*\ln\left(x\right)}[/mm]
Dann hast Du nur noch zu betrachten:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} {\tan\left(\bruch{\pi*x}{2}\right)*\ln\left(x\right)}[/mm]
Dieser Ausdruck ist jetzt entweder auf die Form [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
oder [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] zurückzuführen,
damit L'Hospital angewendet werden kann.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!!!
>
> Grüße Lati
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
also kann ich dann nicht einfach [mm] \bruch{tan(x*\pi/2)}{ln(x)^{-1}} [/mm] da draus machen? Oder geht das nicht?
Und wie müsste ich dann weiter machen? Muss ich dann beide Ausdrücke ableiten?
Grüße Lati
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Hallo Lati,
> Hi,
>
> also kann ich dann nicht einfach
> [mm]\bruch{tan(x*\pi/2)}{ln(x)^{-1}}[/mm] da draus machen? Oder geht
> das nicht?
Doch das geht.
> Und wie müsste ich dann weiter machen? Muss ich dann beide
> Ausdrücke ableiten?
So isses.
>
> Grüße Lati
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
jetzt hab ich das ganze abgeleitet und komme auf folgendes:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 } \bruch{\pi*x* (ln(x))^2}{-cos(x*\pi) -1}
[/mm]
Wenn ich jetzt hier aber den Grenzwert berechne hab ich ja wieder das Problem, dass ich durch Null teile. Was mach ich jetzt schon wieder falsch?
Tut mir echt Leid, dass ich nix versteh...
Grüße Lati
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Hallo Lati,
> Hi,
>
> jetzt hab ich das ganze abgeleitet und komme auf
> folgendes:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 } \bruch{\pi*x* (ln(x))^2}{-cos(x*\pi) -1}[/mm]
Hier muss es heißen:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 } \bruch{\pi*x* (ln(x))^2}{\red{+}cos(x*\pi) \red{+}1}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt hier aber den Grenzwert berechne hab ich ja
> wieder das Problem, dass ich durch Null teile. Was mach ich
> jetzt schon wieder falsch?
Soviel ich sehe, hast Du bis auf das Vorzeichen alles richtig gemacht.
Jetzt hast Du wieder einen unbestimmten Ausdruck,
auf den Du wieder L'Hospital anwenden kannst.
>
> Tut mir echt Leid, dass ich nix versteh...
>
> Grüße Lati
Gruß
MathePower
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Hallo MP,
das "-" ist schon richtig und rührt von der Ableitung des Nenners [mm] $\frac{1}{\ln(x)}$ [/mm] her ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
jetzt hab ich das ganze noch 2 mal durchgezogen und komm dann auf folgenden Ausdruck:
[mm] \bruch{2* ln(x) *\pi + 2\pi}{cos(x*\pi)* \pi^2 *x}
[/mm]
Jetzt kann ich das Ganze gegen 1 laufen lassen und bekomm als Ergebnis wenn ich mich nicht ganz täusche [mm] \bruch{-2}{\pi}
[/mm]
Aber wo besteht jetzt der Zusammenhang zwischen diesem Ergebnis und dem Ergebnis 1, welches der Taschenrechner ausspuckt?
Muss ich da nochmal was mit e machen?
Viele Grüße
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Hallo Lati,
> Hi,
>
> jetzt hab ich das ganze noch 2 mal durchgezogen und komm
> dann auf folgenden Ausdruck:
>
> [mm]\bruch{2* ln(x) *\pi + 2\pi}{cos(x*\pi)* \pi^2 *x}[/mm]
>
> Jetzt kann ich das Ganze gegen 1 laufen lassen und bekomm
> als Ergebnis wenn ich mich nicht ganz täusche
> [mm]\bruch{-2}{\pi}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wo besteht jetzt der Zusammenhang zwischen diesem
> Ergebnis und dem Ergebnis 1, welches der Taschenrechner
> ausspuckt?
Da spuckt dein TR etwas falsches aus.
Fassen wir zusammen:
Es ist [mm] $x^{\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right)}=e^{\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cdot{}\ln(x)}$
[/mm]
Du hast dir den Exponenten herausgepickt und mit mehrfacher Anwendung der Regel von de l'Hôpital herausgefunden, dass er für [mm] $x\to [/mm] 1$ gegen [mm] $-\frac{2}{\pi}$ [/mm] strebt
Damit strebt der Gesamtausdruck gegen [mm] $e^{-\frac{2}{\pi}}\neq [/mm] 1$
Das legt nahe zu vermuten, dass du deinen TR falsch gefüttert hast ...
>
> Muss ich da nochmal was mit e machen?
Ja, du hast ja die Stetigkeit der e-Funktion ausgenutzt, also dass gilt [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$ [/mm] ..
Also den GW des Exponenten f(x), also [mm] $-\frac{2}{\pi}$ [/mm] noch [mm] $e^{GW}$ [/mm] nehmen
>
> Viele Grüße
>
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
danke, ja ich hab da vorhin irgendwie was falsch eingegeben, jetzt gibt er auch das richtige aus.
Oh man des war ne schwere Geburt 
Vielen vielen Dank für eure Hilfe!!!
Grüße
Lati
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Ich habe eine Lösung, die aber mitten durch die Brust ins Auge geht:
>
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1}{x}*(cot(x) - \bruch{1}{x})[/mm]
Zunächst als Vorbemerkung:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{tan(x)}{x}[/mm]=
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1+tan^2(x)}{1}[/mm]=1.
Das selbe gilt dann auch für den Kehrwert.
Nun zur Aufgabe - den Limes lasse ich weg, durch einen Pfeil kennzeichne ich, dass ich wieder L'Hospital anwende, also Zähler und Nenner durch die Ableitungen ersetze.
[mm] \bruch{1}{x}*(cot(x) [/mm] - [mm] \bruch{1}{x})=\bruch{1}{x}*(\bruch{1}{tan(x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x})=\bruch{1}{xtan(x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^2}=\bruch{x}{x^2tan(x)} [/mm] - [mm] \bruch{tan(x)}{x^2tan(x)}= \bruch{x-tan(x)}{x^2tan(x)}
[/mm]
Durch Ausprobieren habe ich nun herausgefunden, dass bei (wiederholter) Anwendung von L'Hospital der Nenner immer komplizierter wird. Deshalb bilde ich nun den Kehrwert(!) des gesuchten Ausdrucks:
[mm] \bruch{x^2tan(x)}{x-tan(x)}\rightarrow \bruch{2xtan(x)+x^2(1+tan^2(x))}{1-(1+tan^2(x))}=\bruch{2xtan(x)+x^2(1+tan^2(x))}{-tan^2(x)}=-2\bruch{xtan(x)}{tan^2(x))}-\bruch{x^2(1+tan^2(x))}{tan^2(x)}=
[/mm]
[mm] -2\bruch{x}{tan(x))}-\bruch{x^2}{tan^2(x)}-\bruch{x^2tan^2(x)}{tan^2(x)}=-2\bruch{x}{tan(x))}-(\bruch{x}{tan(x)})^2-x^2
[/mm]
Geht jetzt x nach 0, so erhält man für die einzelnen Summanden [mm] -2-1^2-0=-3. [/mm] Das ist der Kehrwert des gesuchten Wertes, der somit [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] beträgt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hi,
danke für die sehr saubere Lösung. Kann ich sehr gut nachvollziehen...
Viele Grüße
Lati
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