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| Aufgabe | Seien
A:= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 6 & -1 \\ -1 & -3 & -3 & 3 \\ 2 & 0 & 6 & -1 }
[/mm]
[mm] b_{1}:= \pmat{ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] b_{2}:= \pmat{ 2 \\ 7 \\ -4 \\ 7 }
[/mm]
[mm] b_{3}:= \pmat{ 1 \\ 1 \\ 5 \\ 0 }
[/mm]
mit A [mm] \in R^{4x4} [/mm] und [mm] b_{i} \in R^{4} [/mm] für i=1 , 2 , 3 und x:=( x1 , x2 , x3 , x4 [mm] )^{T}. [/mm] Berechne die LU-Zerlegung der Matrix A und löse damit die linearen Gleichungssysteme A · x = [mm] b_{i} [/mm] für i = 1 , 2 , 3. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keinen anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe damit angefangen die L und die U Matrix zu bilden und komme damit nicht weiter (bin mir auch gar nicht sicher, ob ich das so richtig mache). Zuerst die U - Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 6 & -1 \\ -1 & -3 & -3 & 3 \\ 2 & 0 & 6 & -1 }
[/mm]
Wenn ich die erste Zeile mit -3 multipliziere und zur 2. addiere, dann kommt [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ -1 & -3 & -3 & 3 \\ 2 & 0 & 6 & -1 } [/mm] heraus.
Wenn ich die erste Zeile mit 1 multipliziere und zur 3. addiere, dann kommt [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -4 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 6 & -1 } [/mm] heraus.
Wenn ich die erste Zeile mit -2 multipliziere und zur 4. addiere, dann kommt [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -4 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -1 } [/mm] heraus.
Wenn ich die zweite Zeile mit 2 multipliziere und zur 3. addiere, dann kommt [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & -1 } [/mm] heraus.
Wenn ich die zweite Zeile mit 1 multipliziere und zur 4. addiere, dann kommt [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -2 } [/mm] heraus.
Wenn ich die dritte Zeile mit 2 multipliziere und zur 4. addiere, dann kommt [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] heraus.
Also ist U := [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] .
Und L:= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -2 & 1}
[/mm]
Dann wollte ich überprüfen ob das stimmt und L*U rechnen, denn das müsste ja A sein, aber ich bekomme immer heraus:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 6 & -1 \\ -1 & -3 & -3 & 3 \\ 2 & -4 & 6 & -1 }
[/mm]
Die Einträge stimmen bis auf die -4 in der 4. Zeile. Ich habe mehrmals nachgerechnet und komme immer wieder auf diesen Fehler. Kann mir also bitte jemand helfen? Wenn ich die LU - Zerlegung falsch mache, wäre es auch nett, wenn mir das jemand anhand dieses Beispiels das dann erklären bzw. zeigen könnte. Danke =)
lg Mathemaus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:31 Mo 12.12.2011 | | Autor: | davux |
Dein Fehler liegt in der dritten umgeformten Matrix, also nach der dritten Zeile, nimmst du dir die vierte vor. Es müsste direkt am Anfang heißen [mm] $-2\cdot [/mm] (-1)=2$. Deshalb fliegt letztendlich eine Zeile bei dir raus, was aber nicht passieren sollte, wenn du es korrigiert hast. Durch die Leerzeile klappt die Zerlegung nicht.
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Danke für deine Antwort =). Nur könntest du mir zeigen oder genauer erklären, wie du das meinst oder was ich genau mit 2 multiplizieren muss. und wenn die 3. falsch ist, sind alle folgenden dann nicht auch falsch? Ich habe die 3. geändert und habe mehrere Varianten durchgerechnet und hab dann auch bei der letzten Zeile der zu entstehenden Matrix keine Nullzeile raus, sondern einmal 0 0 0 5 und ein anderes Mal 0 0 0 6, aber trotzdem ist die letzte zeile falsch, wenn ich beide matrizen miteinander multipliziere, also es kommt nie A raus. Die ersten 3 Zeilen stimmen immer überein. HILFE =(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:37 Di 13.12.2011 | | Autor: | davux |
Ja, es war nicht der einzige Fehler. Allein in dem Schritt hatte ich zwei ausgemacht.
Ich gebe dir mal, was ich vorläufig am Ende gesehen habe, weil ich nicht soviel Zeit habe, aber wenn du möchtest, dann reiche ich die Rechenschritte auch im Detail nach im Laufe des Tages. Aber eigentlich müssten dir beim Nachrechnen die Fehler ins Auge springen. Na ja, du solltest folgendes herausbekommen:
[mm] \pmat{1&-1&2&0\\0&2&0&1\\0&0&-1&1\\0&0&0&2}
[/mm]
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:36 Di 13.12.2011 | | Autor: | fab42 |
Das vorzeichen des Eintrages in der 2. Zeile, 4. Spalte ist falsch, siehe:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=LU+decomposition+of+{{1%2C-1%2C2%2C0}%2C{3%2C-1%2C6%2C-1}%2C{-1%2C-3%2C-3%2C3}%2C{2%2C0%2C6%2C-1}}
mfg
fab
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Ne danke , du musst mir das nicht mehr vorrechnen. =) Ich habe den Fehler gefunden und die Aufgabe auch komplett fertig. Danke für deine Hilfe =)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:23 Di 13.12.2011 | | Autor: | davux |
Hey,
eigentlich hatte ich bloß gesehen, was du für ein Verfahren anwendest und wollte meinen selbstprogrammierten Algorithmus mal an etwas ausprobieren ;). Ehrlich gesagt, weiß ich garnicht, worum es bei der LU-Zerlegung geht. Kannst du mir da eventuell noch etwas zu erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Di 13.12.2011 | | Autor: | Jule2 |
Hi davux!
Also die LU-Zerlegung ist die aufspaltung einer Matrix in ein Produkt einer oberen und einer unteren Dreiecksmatrix!
Hast du diese Matrix einmal in ein Produkt zerlegt kannst du z.B. wie in dieser Aufgabe mit den beiden so erhaltenen Dreiecksmatrizen mehrere verschiedene lineare Gleichungssysteme lösen anstatt für jedes [mm] b_{i} [/mm] wieder von vorne anzufangen!!
Grüße Jule
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Ja mehr kann ich auch nicht groß dazu sagen. Ist aber wirklich nicht schwer.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 15.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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