LR-Zerlegung und Inverse < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | a) Von dem Matrixprodukt
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & a32 & 1 } \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a21 & 1 & 0 \\ a31 & 0 & 1 } [/mm] berechne
man durch Untersuchung der einzelnen Faktoren die Inverse A¡1 : |
| Aufgabe 2 | b) Man bilde die LR¡Zerlegung von
B= [mm] \pmat{ 2 & 2 & 3 \\ -4 & -5 & -4 \\ 2 & -1 & 13 } [/mm] Dann löse man das lineare Gleichungssystem
x 11
B y = -27
z -8 durch
"Vorwärtseinsetzen in die L ¡Matrix " und "Rückwärtseinsetzen in die
R -Matrix ": |
Hallo,
wie macht man sowas? Ich habe eh so meine Probleme in Mathe. Normalen Gauß algorithmus bekomm ich ja noch hin, aber bei LR Zerlegung und Inverse berechnen hörts auf...
Danke schonmal für Eure Hilfe
LG Philip
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Philip!
Endlich mal wieder eine Frage, die ich beantworten kann. 
> a) Von dem Matrixprodukt
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> A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & a32 & 1 } \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ a21 & 1 & 0 \\ a31 & 0 & 1 }[/mm]
> berechne
> man durch Untersuchung der einzelnen Faktoren die Inverse
> A¡1 :
> b) Man bilde die LR¡Zerlegung von
>
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> B= [mm]\pmat{ 2 & 2 & 3 \\ -4 & -5 & -4 \\ 2 & -1 & 13 }[/mm] Dann
> löse man das lineare Gleichungssystem
>
> x 11
> B y = -27
> z -8 durch
> "Vorwärtseinsetzen in die L ¡Matrix " und
> "Rückwärtseinsetzen in die
> R -Matrix ":
> Hallo,
> wie macht man sowas? Ich habe eh so meine Probleme in
> Mathe. Normalen Gauß algorithmus bekomm ich ja noch hin,
> aber bei LR Zerlegung und Inverse berechnen hörts auf...
Also, zur ersten Aufgabe:
Ich weiß nicht, warum das da als Matrizenprodukt steht, aber allgemein gibt es, um eine Inverse zu berechnen, folgende Möglichkeiten:
1.) Bei [mm] $2\times [/mm] 2$- oder [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen kann man ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen. Das sieht im Fall einer [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix so aus (gesucht sei die Inverse von [mm] A=\pmat{a&b\\c&d}):
[/mm]
für die Inverse [mm] A^{-1} [/mm] muss gelten: [mm] A*A^{-1}=I [/mm] (mit I der Einheitsmatrix), also:
[mm] \pmat{a&b\\c&d}*\pmat{i&j\\k&l}=\pmat{1&0\\0&1}
[/mm]
ergibt dann das LGS:
ai+bk=1
aj+bl=0
ci+dk=0
cj+dl=1
Nun hast du vier Gleichungen und vier Unbekannte, kannst also eine eindeutige Lösung bekommen.
2.) Du machst neben die Matrix statt der zweiten Matrixklammer einen großen senkrechten Strich und schreibst rechts daneben die Einheitsmatrix. Dann formst du die Matrix links durch elementare Zeilenumformungen (ich bin mir gerade nicht sicher, ob Spaltenumformungen auch gehen, aber mir reichen immer Zeilenumformungen) so um, dass sie zur Einheitsmatrix wird. Gleichzeitig machst du bei der Einheitsmatrix, die rechts neben dem Strich steht, dieselben Umformungen. So erhältst du dort am Ende deiner Umformungen die Inverse zu deiner gegebenen Matrix.
3.) Wo du da oben schon ein Produkt zweier Matrizen stehen hast, kannst du auch die Formel anwenden (ich hoffe, es ist jetzt richtig so, ließe sich aber recht schnell nachrechnen...): für [mm] A=A_1*A_2 [/mm] gilt [mm] A^{-1}=A_2^{-1}*A_1^{-1} [/mm] (sollte diese Formel falsch sein, dann ist die richtige die, wo die Reihenfolge der Matrizen gleich bleibt...). Da in deinem Fall beide Faktoren untere Dreiecksmatrizen sind, bietet sich diese Variante hier an, denn die Inversen einer Dreiecksmatrix kann man recht schnell berechnen - schon nahezu raten (probiere dazu am besten mal meinen ersten Vorschlag - es müsste aber reichen, wenn du [mm] A*A^{-1}=I [/mm] hinschreibst und dann mal "genau hinguckst"  ). Ich schätze, diese Variante ist auch mit "durch Untersuchung der einzelnen Faktoren" gemeint.
So, zur LR-Zerlegung schreibe ich mal lieber eine neue Antwort.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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So, dann nun zur zweiten Aufgabe:
> b) Man bilde die LR¡Zerlegung von
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> B= [mm]\pmat{ 2 & 2 & 3 \\ -4 & -5 & -4 \\ 2 & -1 & 13 }[/mm] Dann
> löse man das lineare Gleichungssystem
>
> x 11
> B y = -27
> z -8 durch
> "Vorwärtseinsetzen in die L ¡Matrix " und
> "Rückwärtseinsetzen in die
> R -Matrix ":
Die LR-Zerlegung ist eigentlich fast dasselbe wie der Gauß-Algorithmus (den Unterschied, den uns unser Prof erklärt hat, habe ich nicht verstanden ). Und zwar kannst du in deinem Fall am einfachsten erstmal die zweite Zeile + zweimal die erste Zeile machen, denn dann wird ja der erste Eintrag =0. Du kannst das Ganze so aufschreiben, wie man es später beim Programmieren macht um Platz zu sparen, und zwar speichert man nämlich keine Nullen ab (Sinn der Sache ist ja gerade, an gewisse Stellen Nullen hinzubekommen). Und hier ist ja jetzt der erste Eintrag der zweiten Zeile 0, also speichern wir die Null aber nicht, sondern speichern die Zahl bzw. das Negative davon, die wir brauchten, um die 0 dorthin zubekommen, nämlich die -2. Gleichzeitig können wir auch noch den ersten Eintrag der dritten Zeile =0 machen, nämlich mit der -1, also bekommen wir im ersten Schritt folgende Matrix:
[mm] \pmat{2&2&3\\-2&-1&2\\1&-3&10}
[/mm]
Das ist jetzt nicht direkt eine Umformung der ersten Matrix, denn dafür müssten da ja die Nullen stehen. Deswegen macht man da normalerweise so einen Strich hin, der quasi waagerecht über der -2 steht und dann senkrecht runter geht, sodass man sieht, dass die ersten Einträge der zweiten und dritten Zeile nicht die Zahlen sind, die dort eigentlich hingehören.
So, und nun machen wir mit dieser veränderten Matrix dasselbe, nur für den zweiten Eintrag in der dritten Zeile. Dafür brauchen wir die -3, also speichern wir dort die +3 und erhalten (dabei werden natürlich die ersten Einträge der zweiten und dritten Zeile nicht berücksichtigt, denn da stehen ja eigentlich die Nullen und Null + Null bleibt Null - also bleiben da unsere alten Zahlen stehen, durch den Strich sind sie ja auch vom Rest schön abgetrennt ):
[mm] \pmat{2&2&3\\2&-1&2\\-1&3&4}
[/mm]
Und jetzt sind wir schon so gut wie fertig. Wir müssen nur noch wissen, dass die L-Matrix Einsen auf der Diagonalen hat, rechts oberhalb der Diagonalen natürlich Nullen, und das, was links unterhalb die Diagonale muss, ist das, was auch bei unsere letzten Matrix unterhalb der Diagonalen stand. Und die R-Matrix besitzt unterhalb der Diagonalen nur Nullen und der Rest steht auf der Diagonalen und oberhalb von unserer letzten Matrix. Wie erhalten also:
[mm] A=L*R=\pmat{1&0&0\\-2&1&0\\1&3&1}*\pmat{2&2&3\\0&-1&2\\0&0&4}
[/mm]
Und du kannst nachrechnen - es stimmt.
Viele Grüße
Bastiane
P. S.: Ich hoffe, das war verständlich, habe mich eigentlich bemüht, aber beim nachher durchlesen festgestellt, dass meine Wortwahl nicht sehr mathematisch und vllt auch etwas missverständlich war...
P. P. S.: Man kann das Ganze auch mit Permutationsmatrizen (ich glaube, so heißen die) aufschreiben. Da macht man aber genau dasselbe, man schreibt es nur etwas anders auf.
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Vielen Dank für die Antwort. Das war schon verständlich.
Und wie ist das dann mit dem Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen?
Lieben Gruß Philip
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Hallo!
> Vielen Dank für die Antwort. Das war schon verständlich.
> Und wie ist das dann mit dem Vorwärts- und
> Rückwärtseinsetzen?
> Lieben Gruß Philip
Oh ja, sorry, das hatte ich vergessen. Ist aber im Prinzip das Einfachste an der ganzen Sache:
Du willst ja das LGS Ax=b lösen. Nun hast du A zerlegt in LR, hast also das LGS
LRx=b
Nun berechnest du zuerst Ly=b, wobei L die berechnete Matrix ist, b der gegebene Vektor, und y halt einfach [mm] \vektor{y_1\\y_2\\y_3}. [/mm] Das geht dann direkt durch "Vorwärtseinsetzen", denn L ist ja eine untere Dreiecksmatrix, und "vorwärts" deswegen, weil du oben anfangen kannst mit einsetzen, da steht ja quasi schon [mm] b_1=\mbox{soundsoviel y_1}. [/mm] Das setzt du dann in die zweite Gleichung ein und berechnest so [mm] y_2, [/mm] und beides zusammen in die dritte Gleichung eingesetzt ergibt [mm] y_3.
[/mm]
Und nun machst du das Gleiche, nur "rückwärts" (denn hier muss du unten anfangen mit Einsetzen) mit Rx=y, wobei R die berechnete Matrix ist, x der Vektor [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] und y der Vektor, den du bei Ly=b berechnet hast.
Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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