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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mo 12.05.2008 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Bestimme Matrizen L und R so, dass [mm] L\cdot{}R=P*A, [/mm] wobei P Permutationsmatrix. (mit Spaltenpivotisierung!)
[mm] A=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ -2 & 2,1 & -1,1 & 1,7 \\ 1 & 1,5 & -3 & 0,5 \\ -2 & 3 & 1 & 5,5} [/mm] |
Hi,
![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]") wo ist mein Fehler?
Jetzt wird's lang - ich hoffe trotzdem, dass jmd. die Geduld hat, nach Fehlern zu suchen. Oder ein entsprechendes Programm, das die Zerlegung ausgibt.
[mm] A=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ -2 & 2,1 & -1,1 & 1,7 \\ 1 & 1,5 & -3 & 0,5 \\ -2 & 3 & 1 & 5,5}
[/mm]
1. Schritt:
[mm] P_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}, L_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1}, R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & -0,9 & -1,1 & 0,7 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4,5}
[/mm]
2. Schritt
Jetzt muss ich die 2. und die 3. Zeile vertauschen, da |3|>|-0.9|:
[mm] R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & -0,9 & -1,1 & 0,7 \\ 0 & 0 & 1 & 4,5}
[/mm]
Dann ergibt sich für [mm] P_2 [/mm] Permutationsmatrix: [mm] P_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1},
[/mm]
[mm] L_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] Für das "aktualisierte" R ergibt sich: [mm] R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4,5}
[/mm]
3. Schritt:
[mm] P_3=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}, L_3=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\bruch{1}{2} & 1}, R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\
0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5}
[/mm]
Jetzt müsste - wenn alles richtig berechnet wurde - gelten:
[mm] R=L_3*P_3*L_2*P_2*L_1*P_1*A, [/mm] da [mm] P_1=P_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}, [/mm] also
[mm] R=L_3*L_2*P_2*L_1*A, [/mm] aber das haut nicht hin:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\bruch{1}{2} & 1}*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}*P_2*L_1*A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0,15 & -\bruch{1}{2} & 1}*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}*L_1*A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -0,3 & 0 \\ 0 & -\bruch{1}{2} & 0,15 & 1}*\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1}*A=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1,15 & 1 & -0,3 & 0 \\ 0,425 & -\bruch{1}{2} & 0,15 & 1}*A
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 1,15 & 1 & -0,3 & 0 \\ 0,425 & -\bruch{1}{2} & 0,15 & 1}*A=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ?}
[/mm]
Ich brauche gar nicht weiter rechnen, weil R obere Dreiecksmatrix ist. Und [mm] a_{21}=2 [/mm] ist ja schon verkehrt. Was ist falsch? Ich bin echt am Verzweifeln!
![[scheisskram]](/images/smileys/scheisskram.gif "[scheisskram]") I need somebody help!
MfG barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo barsch,
ich denke dein Problem ist, dass du deine Matrizen [mm] L_{i}, [/mm] so wie du sie verwendest, falsch aufstellst. Du willst sowas machen wie [mm] R=L_{3}*P_{3}* L_{2}* P_{2}*L_{1}*P_{1}*A
[/mm]
Die L-Matrizen, die du aufgestellt hast, haben aber unterhalb der Diagonalen genau die falschen Vorzeichen (Rechne z.B. mal dein [mm] L_{1}*A, [/mm] da kommt sicher nicht dein R aus diesem Schritt raus.
Ich gebe dir mal die richtigen Matrizen (für P*A=L*R):
P hattest du schon richtig: [mm] P=P_{2}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
R hattest du auch schon, [mm] R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5}
[/mm]
$ [mm] L=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -0,3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 1} [/mm] $
Gruß,
Vreni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mo 12.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen, vielen Dank.
Jedoch habe ich da noch ein Problem:
> Ich gebe dir mal die richtigen Matrizen (für P*A=L*R):
>
> P hattest du schon richtig: [mm]P=P_{2}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> R hattest du auch schon, [mm]R=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5}[/mm]
>
> [mm]L=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -0,3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 1}[/mm]
Ich komme nicht auf das L. Mein L sieht so aus:
[mm] L=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0,3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & \frac{1}{2} & 1}
[/mm]
Bei mir fehlen die Vorzeichen in der 2. und 3. Spalte. Kannst du mir die Formel für L mal geben?
Meines Wissens lautet die doch für diesen Fall:
[mm] L=L_3^{-1}*L_2^{-1}*P_2*L_1^{-1}*P_2^{-1} [/mm] und für [mm] L_2 [/mm] habe ich raus:
[mm] L_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] und das heißt ja:
[mm] L_2^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
dadurch geht mir das Vorzeichen verloren. Genauso bei [mm] L_3.
[/mm]
>
> Gruß,
> Vreni
Ich scheine demnach immer noch was falsch zu machen ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Danke soweit.
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Vreni |
also, fangen wir von vorne an:
Wir haben A gegeben.
[mm] L_1*P_1 *A=R_1,
[/mm]
wobei [mm] R_1 [/mm] in der 1.Spalte unter der Diagonalen nur Nuller hat.
Weiter mit [mm] L_2*P_2*R_1=R_2
[/mm]
[mm] L_3*P_3*R_2=R_3
[/mm]
Die Matrix [mm] L_{i} [/mm] kommt so zustande:
Auf der Diagonalen Einser
In allen Spalten bis auf Spalte i Nuller
In der i-ten Spalte unterhalb der Diagonalen: [mm] l_{j,i}=\red{-} \blue{\frac{a_{j,i}}{a_{i,i}}}
[/mm]
[mm] \blue{(verbessert, \; war \; vorher \; falsch)}
[/mm]
wobei die Einträge a sich auf die die aktuelle, schon mit [mm] P_{i} [/mm] permutierte Matrix [mm] R_{i-1} [/mm] bilden.
Für P*A=LR ist dann
[mm] R=R_3
[/mm]
[mm] P^{-1}*L=L_3^{-1}*P_3^{-1}*L_2^{-1}*P_2^{-1}*L_1^{-1}*P_1^{-1}
[/mm]
In deinem Fall also:
[mm] A=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ -2 & 2,1 & -1,1 & 1,7 \\ 1 & 1,5 & -3 & 0,5 \\ -2 & 3 & 1 & 5,5}
[/mm]
[mm] P_1=id
[/mm]
[mm] L_1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \red{-}1 & 1 & 0 & 0 \\ \red{+}\bruch{1}{2} & 0 & 1 & 0 \\ \red{-}1 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Hier sind die Vorzeichen sehr wichtig, da nur so wirklich bei [mm] L_1*A [/mm] die Einträge in der 1.Spalte eliminiert werden.
[mm] \Rightarrow R_1=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & -0,9 & -1,1 & 0,7 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4,5}
[/mm]
nächster Schritt:
[mm] P_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] L_2=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \red{+}0,3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Auch hier wieder die Vorzeichen so rum, da sonst die Einträhge in der zweiten Spalte nicht wegkommen.
Rechne einfach mal mit deinem [mm] L_2 [/mm] aus, was [mm] L_2*P_2*R_1 [/mm] ist, dann siehst du, das die Vorzeichen nicht stimmen können.
[mm] \Rightarrow R_2=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4,5}
[/mm]
[mm] P_3=id
[/mm]
[mm] L_3=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \red{+}\frac{1}{2} & 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow R_2=\pmat{ -2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5}
[/mm]
Ich bin jetzt dann erstmal mindestens zwei Stunden weg, aber ich hoffe, ich konnte dir soweit weiterhelfen.
Gruß,
Vreni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo,
es tut mir Leid, ich habs vorhin aus Versehen vertauscht, es heißt natürlich [mm] l_{j,i}=-\frac{a_{j,i}}{a_{i,i}}, [/mm] also bis aufs Vorzeichen das, was du auch hattest. Ich werde es gleich in der Antwort auch noch korrigieren.
Ich kann mir schon vorstellen, dass ihr beim Programmieren des Algorithmus [mm] l_{j,i} [/mm] ohne das Minus berechnet, das sind nämlich genau die Einträge, die später in L stehen. Aber so wie du deine [mm] L_{i} [/mm] gebildet hast, gehört es eben mit anderem Vorzeichen.
Du musst dir nur vor Augen führen,, was du mit der Multiplikation von [mm] L_{i} [/mm] von links an die Matrix machst:
du addierst das [mm] l_{j,i}-fache [/mm] der i-ten Zeile zur j-ten Zeile, machst also eine elementare Zeilenumformung.
Und deren Ziel ist es, auf der Stelle (j,i) eine Null zu erzeugen. Und deswegen musst du [mm] l_{j,i}=-\frac{a_{j,i}}{a_{i,i}} [/mm] wählen, damit [mm] a_{j,i}+l_{j,i}*a_{i,i}=0 [/mm] ist.
Gruß,
Vreni
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![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
