LGS mit Parametern < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Di 30.06.2009 | | Autor: | D-C |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in Abhängigkeit der Parameter b1, b2, b3, b4 [mm] \in \IR [/mm] den Lösungsraum des folgenden linearen Gleichungssystems:
x1 + 2x2 + x3 - x4 - b1 = 0
2x1 + 4x2 + 3x3 -3x4 - b2 = 0
4x1 + 8x2 - 3x3 + x4 - b3 = 0
x3 + x4 - b4 = 0 |
Hallo,
bin mir nicht ganz sicher, wie hier der richtige Weg sein soll. Normalerweise löse ich ja ein LGS ohne abhängige Parameter, indem ich mit Gauß versuche eine Zeilenstufenform hinzubekommen, um dann an x1,x2,x3 usw. zu kommen.
Geht das hier genauso und wäre dann der 1.Schritt b1,b2,b3,b4 auf die andere Seite zu bringen, oder rechnet man mit denen auf der "linken" Seite weiter?
Gruß
D-C
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Hallo D-C,
> Bestimmen Sie in Abhängigkeit der Parameter b1, b2, b3, b4
> [mm]\in \IR[/mm] den Lösungsraum des folgenden linearen
> Gleichungssystems:
>
> x1 + 2x2 + x3 - x4 - b1 = 0
> 2x1 + 4x2 + 3x3 -3x4 - b2 = 0
> 4x1 + 8x2 - 3x3 + x4 - b3 = 0
> x3 + x4 - b4 = 0
> Hallo,
>
> bin mir nicht ganz sicher, wie hier der richtige Weg sein
> soll. Normalerweise löse ich ja ein LGS ohne abhängige
> Parameter, indem ich mit Gauß versuche eine
> Zeilenstufenform hinzubekommen, um dann an x1,x2,x3 usw. zu
> kommen.
> Geht das hier genauso und wäre dann der 1.Schritt
> b1,b2,b3,b4 auf die andere Seite zu bringen, oder rechnet
> man mit denen auf der "linken" Seite weiter?
Das kannst du machen, wie du magst, ich finde, es ist übersichtlicher, wenn du zuerst alle [mm] $b_i$ [/mm] auf die rechte Seite bringst und dann mit Gauß die ZSF herbeiführst ...
Geh's mal an ...
>
> Gruß
>
> D-C
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 30.06.2009 | | Autor: | D-C |
Ok, hab b1,..b4 dann mal auf die rechte Seite gebracht, fand ich auch übersichtlicher :) . Angefangen mit
1 2 1 -1 | b1
2 4 3 -3 | b2 -2*1.Zeile
4 8 -3 1 | b3
0 0 1 1 | b4
1 2 1 -1 | b1
0 0 -1 1 | b2-2b1
4 8 -3 1 | b3 -4*1.Zeile
0 0 1 1 | b4
1 2 1 -1 | b1
0 0 -1 1 | b2-2b1
0 0 7 -5 | b3-4b1
0 0 1 1 | b4
.
.
.
usw, habe ich dann nach den ganzen Umformungen :
1 2 0 0 | -b1+b2
0 0 1 0 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm] b2 + 11b1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] b3
0 0 0 1 | - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] b3 + 9b1 + [mm] \bruch{7}{2} [/mm] b2
0 0 0 0 | b4 + 8b2 - 20b1 - b3
Sieht irgendwie etwas unübersichtlich aus, werde es gleich vorsichtshalber auch nochmal rechnen, aber wie ginge es denn dann ab hier weiter?
Gruß
D-C
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> usw, habe ich dann nach den ganzen Umformungen :
>
> 1 2 0 0 | -b1+b2
> 0 0 1 0 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm] b2 + 11b1 - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] b3
> 0 0 0 1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] b3 + 9b1 + [mm]\bruch{7}{2}[/mm] b2
> 0 0 0 0 | b4 + 8b2 - 20b1 - b3
>
> Sieht irgendwie etwas unübersichtlich aus, werde es gleich
> vorsichtshalber auch nochmal rechnen, aber wie ginge es
> denn dann ab hier weiter?
Hallo,
ich habe nichts nachgerechnet, ich nehme die Matrix so, wie sie dasteht.
Sie ist in reduzierte ZSF, also Nullen auch über den führenden Zeilenelementen, was beim Ablesen der speziellen Lösung wichtig ist.
Zunächst mal stellt man fest, daß es nur Lösungen gibt, wenn rechts unten 0 steht, wenn also [mm] 0=b_4 [/mm] + [mm] 8b_2 [/mm] - [mm] 20b_1 [/mm] - [mm] b_3.
[/mm]
(Setz doch bitte Indizes, das liest sich entschieden gemütlicher.)
Sei nun [mm] 0=b_4 [/mm] + [mm] 8b_2 [/mm] - [mm] 20b_1 [/mm] - [mm] b_3.
[/mm]
es ist der Rang der Matrix =3, also hat der Lösungsraum des homogenen Systems die Dimension 1,
er wird aufgespannt von [mm] \vektor{2\\-1\\0\\0}.
[/mm]
(Das ist eine ganz normale Kernbestimmung, Kern der Koeffizientenmatrix.)
Nun benötigst Du noch eine spezielle Lösung. Auch diese kannst Du oben ablesen, ich stelle die Zeilen dazu geringfügig um:
> 1 2 0 0 | -b1+b2
> 0 0 0 0 | 0=b4 + 8b2 - 20b1 - b3
> 0 0 1 0 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm] b2 + 11b1 - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] b3
> 0 0 0 1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] b3 + 9b1 + [mm]\bruch{7}{2}[/mm] b2
Der Vektor rechts, also [mm] \vektor{-b_1+b_2\\0\\ \bruch{5}{2} b_2 + 11b_1 -\bruch{1}{2}b_3\\ -\bruch{1}{2} b_3 + 9b_1 + \bruch{7}{2}b_2} [/mm] ist eine spezielle Lösung,
so daß die Lösungsmenge so aussieht:
[mm] L=\vektor{-b_1+b_2\\0\\ \bruch{5}{2} b_2 + 11b_1 -\bruch{1}{2}b_3\\ -\bruch{1}{2} b_3 + 9b_1 + \bruch{7}{2}b_2} +<\vektor{2\\-1\\0\\0}>.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Mi 01.07.2009 | | Autor: | D-C |
> Hallo,
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> ich habe nichts nachgerechnet, ich nehme die Matrix so, wie
> sie dasteht.
>
> Sie ist in reduzierte ZSF, also Nullen auch über den
> führenden Zeilenelementen, was beim Ablesen der speziellen
> Lösung wichtig ist.
>
>
> Zunächst mal stellt man fest, daß es nur Lösungen gibt,
> wenn rechts unten 0 steht, wenn also [mm]0=b_4[/mm] + [mm]8b_2[/mm] - [mm]20b_1[/mm] -
> [mm]b_3.[/mm]
>
> (Setz doch bitte Indizes, das liest sich entschieden
> gemütlicher.)
Ok, werde es mir für die Zukunft merken : ).
>
> Sei nun [mm]0=b_4[/mm] + [mm]8b_2[/mm] - [mm]20b_1[/mm] - [mm]b_3.[/mm]
Sehr gut, das hab ich mir auch schon so gedacht, also lag ich damit wohl sogar schonmal richtig.
>
> es ist der Rang der Matrix =3, also hat der Lösungsraum
> des homogenen Systems die Dimension 1,
>
> er wird aufgespannt von [mm]\vektor{2\\-1\\0\\0}.[/mm]
>
> (Das ist eine ganz normale Kernbestimmung, Kern der
> Koeffizientenmatrix.)
Soweit kann ich folgen : ).
>
> Nun benötigst Du noch eine spezielle Lösung. Auch diese
> kannst Du oben ablesen, ich stelle die Zeilen dazu
> geringfügig um:
Könntest Du mir vielleicht noch bei Gelegenheit kurz erklären, wozu man die Umstellung macht?
>
> > 1 2 0 0 | -b1+b2
> > 0 0 0 0 | 0=b4 + 8b2 - 20b1 - b3
> > 0 0 1 0 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm] b2 + 11b1 - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] b3
> > 0 0 0 1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] b3 + 9b1 + [mm]\bruch{7}{2}[/mm] b2
>
> Der Vektor rechts, also [mm]\vektor{-b_1+b_2\\0\\ \bruch{5}{2} b_2 + 11b_1 -\bruch{1}{2}b_3\\ -\bruch{1}{2} b_3 + 9b_1 + \bruch{7}{2}b_2}[/mm]
> ist eine spezielle Lösung,
>
> so daß die Lösungsmenge so aussieht:
>
> [mm]L=\vektor{-b_1+b_2\\0\\ \bruch{5}{2} b_2 + 11b_1 -\bruch{1}{2}b_3\\ -\bruch{1}{2} b_3 + 9b_1 + \bruch{7}{2}b_2} +<\vektor{2\\-1\\0\\0}>.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
Der Rest ist dann auch klar. Vielen Dank für die Hilfe : )
Gruß
D-C
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