LGS mit Parameter < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Mo 15.12.2008 | | Autor: | selines |
| Aufgabe | Für welche Zahl a [mm] \in \IR [/mm] ist das Gleichungssystem
2x+4y+2z=2
4x+y+2z=3
2x-3y=a
lösbar? Berechnen Sie jeweils die Lösungsmenge mit dem Gauß-Algorithmus. |
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 0 & a}
[/mm]
1. Zeile *(-2) zur 2. Zeile
1. Zeile *(-1) zur 3. Zeile
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -2 & -1 \\ 0 & -7 & -2 & a-2}
[/mm]
2. Zeile *(-1) zur 3. Zeile
[mm] \pmat{ 2 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & a-1}
[/mm]
Liege ich nun richtig, wenn ich sage, dass das Gleichungssystem nur für a=1 lösbar ist?
Nun steh ich aber total auf'm Schlauch wie's weitergehen soll, damit ich zur Lösungsmenge komme, da das System ja nun unterbestimmt ist. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für welche Zahl a [mm]\in \IR[/mm] ist das Gleichungssystem
>
> 2x+4y+2z=2
> 4x+y+2z=3
> 2x-3y=a
>
> lösbar? Berechnen Sie jeweils die Lösungsmenge mit dem
> Gauß-Algorithmus.
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 0 & a}[/mm]
>
> 1. Zeile *(-2) zur 2. Zeile
> 1. Zeile *(-1) zur 3. Zeile
>
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -2 & -1 \\ 0 & -7 & -2 & a-2}[/mm]
>
> 2. Zeile *(-1) zur 3. Zeile
>
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & a-1}[/mm]
>
> Liege ich nun richtig, wenn ich sage, dass das
> Gleichungssystem nur für a=1 lösbar ist?
Bis hierhin: alles richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun steh ich aber total auf'm Schlauch wie's weitergehen
> soll, damit ich zur Lösungsmenge komme, da das System ja
> nun unterbestimmt ist. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.
nimm an: z=t, [mm] t\in\IR. [/mm] Dann folgt [mm] y=\bruch{1-2t}{7}, x=\bruch{5-3t}{7}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:18 Mo 15.12.2008 | | Autor: | selines |
Ist das dann die in der Aufgabe verlangte Lösungsmenge? Ich dachte da kommt noch mehr auf mich zu.
Durch Umformen der 2. Gleichung bist du auf das y gekommen, das ist mir klar. Unklar hingegen ist das x. Hast du einfach das y zusätzlich zu dem z=t in die 1. Gleichung eingesetzt und nach x aufgelöst? Da kommt bei mir nur Wirrwarr raus.
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> Ist das dann die in der Aufgabe verlangte Lösungsmenge?
Ich hoffe, ja.
> Ich dachte da kommt noch mehr auf mich zu.
Ich denke, nein.
> Durch Umformen der 2. Gleichung bist du auf das y
> gekommen, das ist mir klar.
Genau.
> Unklar hingegen ist das x. Hast
> du einfach das y zusätzlich zu dem z=t in die 1. Gleichung
> eingesetzt und nach x aufgelöst?
Das habe ich, wie üblich bei unterbestimmten Systemen.
> Da kommt bei mir nur Wirrwarr raus.
Das ist normal. Ich möchte auch nicht für meine Ergebnisse garantieren, dazu sind sie zu schnell "heruntergehauen".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:46 Mo 15.12.2008 | | Autor: | selines |
Ich führ's nochmal kurz aus, nur um sicher zu gehen, gibt nämlich Punkte 
z=t
-7y-2t=-1 ~ -7y=-1+2t ~ [mm] y=\bruch{1-2t}{7}
[/mm]
von hier aus, geht's weiter:
[mm] 2x+4(\bruch{1-2t}{7})+2t=2
[/mm]
~ [mm] 2x+\bruch{4-8t}{7}+2t=2
[/mm]
~ [mm] 2x+\bruch{4-8t}{7}+\bruch{14t}{7}=2
[/mm]
~ [mm] 2x+\bruch{4+6t}{7}=2
[/mm]
~ [mm] 2x=2-\bruch{4+6t}{7}
[/mm]
~ [mm] x=1-\bruch{2-3t}{7}
[/mm]
~ [mm] x=\bruch{7}{7}-\bruch{2-3t}{7}
[/mm]
~ [mm] x=\bruch{5-3t}{7}
[/mm]
[mm] \IL=(x, [/mm] y, z; [mm] \bruch{5-3t}{7}, \bruch{1-2t}{7}, [/mm] t)
t [mm] \in \IR
[/mm]
Ist das dann so richtig?
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Hallo selines,
> Ich führ's nochmal kurz aus, nur um sicher zu gehen, gibt
> nämlich Punkte
>
> z=t
>
> -7y-2t=-1 ~ -7y=-1+2t ~ [mm]y=\bruch{1-2t}{7}[/mm]
>
> von hier aus, geht's weiter:
>
> [mm]2x+4(\bruch{1-2t}{7})+2t=2[/mm]
> ~ [mm]2x+\bruch{4-8t}{7}+2t=2[/mm]
> ~ [mm]2x+\bruch{4-8t}{7}+\bruch{14t}{7}=2[/mm]
> ~ [mm]2x+\bruch{4+6t}{7}=2[/mm]
> ~ [mm]2x=2-\bruch{4+6t}{7}[/mm]
> ~ [mm]x=1-\bruch{2-3t}{7}[/mm]
> ~ [mm]x=\bruch{7}{7}-\bruch{2-3t}{7}[/mm]
> ~ [mm]x=\bruch{5-3t}{7}[/mm]
>
>
> [mm]\IL=(x,[/mm] y, z; [mm]\bruch{5-3t}{7}, \bruch{1-2t}{7},[/mm] t)
> t [mm]\in \IR[/mm]
>
> Ist das dann so richtig?
Ja, ist richtig, nur die Lösungsmenge hast du "komisch" aufgeschrieben.
Ich würde es so schreiben:
[mm] $\mathbb{L}=\left\{\vektor{\bruch{5-3t}{7}\\\bruch{1-2t}{7}\\t}\mid t\in\IR\right\}$ [/mm] bzw. [mm] $=\vektor{\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}\\0}+\left\{\tilde{t}\cdot{}\vektor{-3\\-2\\7} \ \mid \ \tilde{t}\in\IR\right\}$
[/mm]
Aber du hast alles richtig gerechnet
LG
schachuzipus
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