LGS mit Fallunterscheidung 2 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Di 10.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Aufgabe
a) Bestimmen Sie in Abhänigkeit von $ [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] $ die Lösungsmenge aller x $ [mm] \in \IR^4 [/mm] $ mit Ax=B, wobei $ [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 \\ 1 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & \alpha & -2 }, b=\vektor{5 \\ 9 \\ \beta} [/mm] $
b)Bestimmen sie weiterhin die Lösungsmenge des zugehörige homogenen Gleichungssystems Ax=0 |
So nun muss ich euch noch mit ner 2. Aufgabe (siehe oben) nerven (bin mehr eingerostet als ich dachte...)
Vorweg:
Kann das LGS (unabhänig der beiden Parameter) überhaupt eine eindeutige Lösung haben? Ich habe ja 4 Unbekannte und nur 3 Gleichungen.
Ich würde nein sagen.
a)Zuerst stelle ich die Matrix zum LGS Ax=b auf
Die Forme ich dann folgendermaßen um (ich spare mir hier mal die Matrix hinzuschreiben):
Z2 -> Z2-Z1 und Z3 -> Z3-2*Z1
Dann erhalte ich:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 & | 5 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & | 4\\ 0 & 0 & \alpha-6 & 0 & | \beta-10 } [/mm] $
So wenn ich jetzt die letze Zeile betrachte (schreibt man die normalerweise wieder als eine Gleichung?) und für $ [mm] \alpha=6 [/mm] $ und $ [mm] \beta=10 [/mm] $ einsetzte kommt eine Nullzeile 0=0 raus, also hat das LGS unendlich Lösungen.
Nun kann ja mit anderen $ [mm] \alpha [/mm] $ und $ [mm] \beta [/mm] $ auch eine eindeutige Lösung (zumindest für $ [mm] x_{3}) [/mm] $ und keine Lösung (Widerspruch) rauskommen.
Nur komm ich nicht drauf für welche Werte das der Fall ist...
b) Also ich stelle zum LGS Ax=0 eine Matrix auf. Ich denke jeder weiß wie die aussieht, deshalb spar ich mir auch hier die Schreibarbeit.
Die Matrix forme ich genauso wie in a) um
Dann erhalte ich:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 & | 0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & | 0\\ 0 & 0 & \alpha-6 & 0 & | 0 } [/mm] $
Dann hat man in der 3. Zeile $ [mm] (\alpha-6)x_{3}=0 [/mm] $ stehen.
Ist $ [mm] \alpha=6 [/mm] $ kommt 0=0 raus, also hat das LGS unendlich viele Lösungen.
Ist $ [mm] \alpha≠6 [/mm] $ kommt nur die triviale Lösung $ [mm] x_{3}=0 [/mm] $ raus (damit müssen auch alle anderen x=0 sein oder?)
Bin mir nur nicht ganz sicher, wie ich die Lösungsmenge formuliere.
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> Aufgabe
> a) Bestimmen Sie in Abhänigkeit von [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm]
> die Lösungsmenge aller x [mm]\in \IR^4[/mm] mit Ax=B, wobei
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 \\
1 & 3 & 0 & 1 \\
2 & 4 & \alpha & -2 }, b=\vektor{5 \\
9 \\
\beta}[/mm]
>
> b)Bestimmen sie weiterhin die Lösungsmenge des zugehörige
> homogenen Gleichungssystems Ax=0
>
>
>
> So nun muss ich euch noch mit ner 2. Aufgabe (siehe oben)
> nerven (bin mehr eingerostet als ich dachte...)
>
> Vorweg:
> Kann das LGS (unabhänig der beiden Parameter) überhaupt
> eine eindeutige Lösung haben? Ich habe ja 4 Unbekannte und
> nur 3 Gleichungen.
> Ich würde nein sagen.
Hallo,
damit hast Du recht.
Sofern das System eine Lösung hat, hat es unendlich viele Lösungen.
>
> a)Zuerst stelle ich die Matrix zum LGS Ax=b auf
> Die Forme ich dann folgendermaßen um (ich spare mir hier
> mal die Matrix hinzuschreiben):
> Z2 -> Z2-Z1 und Z3 -> Z3-2*Z1
> Dann erhalte ich:
Ich habe die ZFS nicht geprüft.
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 & | 5 \\
0 & 1 & -3 & 2 & | 4\\
0 & 0 & \alpha-6 & 0 & | \beta-10 }[/mm]
>
> So wenn ich jetzt die letze Zeile betrachte (schreibt man
> die normalerweise wieder als eine Gleichung?)
Nein.
Du solltest folgendes wissen:
wenn Du das LGS (A|b) hast, dann gilt:
es gibt eine Lösung, wenn rang(A)=rang(A|b),
es gibt keine Lösung, wenn rang(A)<rang(a|b).>
Sofern das System lösbar ist, gilt:
Die Lösung ist eindeutig, wenn der Rang von A so groß ist, wie die Anzahl der Variablen.
Ist rang(A) kleiner als die Anzahl der Variablen, so gibt es unendlich viele Lösungen. [Anzahl der Variablen - rang(A)] ist die Dimension des affinen Lösungsraumes.
Dies liefert Dir einen Leitfaden für die systematische Untersuchung der ZSF:
Fall 1: a=6 und [mm] b\not=10
[/mm]
Und???
Fall 2.1.
> [mm]\alpha=6[/mm] und [mm]\beta=10[/mm] einsetzte kommt eine Nullzeile 0=0
> raus, also hat das LGS unendlich Lösungen.
Ja.
Interessant ist nun, wie die Lösungsmenge aussieht, insbes. die Dimension des Kerns.
Fall 2.2: [mm] a\not=6
[/mm]
Na???
> b) Also ich stelle zum LGS Ax=0 eine Matrix auf. Ich denke
> jeder weiß wie die aussieht, deshalb spar ich mir auch
> hier die Schreibarbeit.
> Die Matrix forme ich genauso wie in a) um
>
>
> Dann erhalte ich:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 & | 0 \\
0 & 1 & -3 & 2 & | 0\\
0 & 0 & \alpha-6 & 0 & | 0 }[/mm]
>
> Dann hat man in der 3. Zeile [mm](\alpha-6)x_{3}=0[/mm] stehen.
> Ist [mm]\alpha=6[/mm] kommt 0=0 raus, also hat das LGS unendlich
> viele Lösungen.
Dimension des Lösungsraumes? (Auch seine Basis solltest Du angeben können.)
> Ist [mm]\alpha\not=6[/mm] kommt nur die triviale Lösung [mm]x_{3}=0[/mm] raus
> (damit müssen auch alle anderen x=0 sein oder?)
Nein.
Du hast in diesem Fall die führenden Zeilenelemente Deiner ZSF in der 1., 2. und 3. Spalte, kannst also die 4. Variable frei wählen.
Mit [mm] x_4:=t
[/mm]
bekommst Du
[mm] x_3= [/mm] ...
[mm] x_2=...
[/mm]
[mm] x_1=...,
[/mm]
so daß die Lösungsvektoren [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_4} [/mm] die Gestalt haben
[mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_4}=\vektor{...\\\vdots\\...}=t*\vektor{...\\\vdots\\...}
[/mm]
Gruß v. Angela
<rang(a|b).>
</rang(a|b).>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 10.05.2011 | | Autor: | Sup |
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 & | 5 \\
0 & 1 & -3 & 2 & | 4\\
0 & 0 & \alpha-6 & 0 & | \beta-10 }[/mm]
> Du solltest folgendes wissen:
>
> wenn Du das LGS (A|b) hast, dann gilt:
>
> es gibt eine Lösung, wenn rang(A)=rang(A|b),
> es gibt keine Lösung, wenn rang(A)<rang(a|b).>
>
> Sofern das System lösbar ist, gilt:
> Die Lösung ist eindeutig, wenn der Rang von A so groß
> ist, wie die Anzahl der Variablen.
> Ist rang(A) kleiner als die Anzahl der Variablen, so gibt
> es unendlich viele Lösungen. [Anzahl der Variablen -
> rang(A)] ist die Dimension des affinen Lösungsraumes.
>
> Dies liefert Dir einen Leitfaden für die systematische
> Untersuchung der ZSF:
Danke, den zusammenhang habe ich volkommen vergessen.
> Fall 1: a=6 und [mm]b\not=6[/mm]
>
> Und???
Meinst du vllt. [mm] b\not=10. [/mm] Andernfalls verstehe ich dein Ansatz nicht. Ist [mm] b\not=10 [/mm] hat das LGS keine Lösung weil eine Ungleichung herauskommt.
>
> Fall 2.1.
> > [mm]\alpha=6[/mm] und [mm]\beta=10[/mm] einsetzte kommt eine Nullzeile 0=0
> > raus, also hat das LGS unendlich Lösungen.
>
> Ja.
> Interessant ist nun, wie die Lösungsmenge aussieht,
> insbes. die Dimension des Kerns.
Den Rang des Kerns kriege ich ja durch die Gl. von dir oben. Durch die Nullzeile hat die Matrix den Rang 2, also der Kern den Rang 4-3=2.
>
> Fall 2.2: [mm]a\not=6[/mm]
>
> Na???
Für [mm] a\not=6 [/mm] hat das LGS wieder unendlich viele Lösungen, da eben mehr Varibeln als Gleichungen vorhanden sind.
>
>
>
>> b)
> > Dann erhalte ich:
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 & | 0 \\
0 & 1 & -3 & 2 & | 0\\
0 & 0 & \alpha-6 & 0 & | 0 }[/mm]
> > Dann hat man in der 3. Zeile [mm](\alpha-6)x_{3}=0[/mm] stehen.
> > Ist [mm]\alpha=6[/mm] kommt 0=0 raus, also hat das LGS unendlich
> > viele Lösungen.
>
> Dimension des Lösungsraumes? (Auch seine Basis solltest Du
> angeben können.)
Sofern mein Vorgehen oben richtig ist, müsste die Dimension wieder 2 sein.
Und wenn ich jetzt noch richtig überflogen habe sollte das die Basis sein
[mm] \vektor{-9x_{3}+5x_{4} \\ 3x_{3}-2x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} }
[/mm]
Nur warum brauche ich die?
> Nein.
> Du hast in diesem Fall die führenden Zeilenelemente
> Deiner ZSF in der 1., 2. und 3. Spalte, kannst also die 4.
> Variable frei wählen.
>
> Mit [mm]x_4:=t[/mm]
>
> bekommst Du
>
> [mm]x_3=[/mm] ...
>
> [mm]x_2=...[/mm]
>
> [mm]x_1=...,[/mm]
>
> so daß die Lösungsvektoren [mm]\vektor{x_1\\\vdots\\x_4}[/mm] die
> Gestalt haben
>
> [mm]\vektor{x_1\\\vdots\\x_4}=\vektor{...\\\vdots\\...}=t*\vektor{...\\\vdots\\...}[/mm]
>
Ok stimmt
Für a≠6 kommt in der letzten Zeile ein gleichung der Form [mm] r*x_{3}=0, [/mm] wobei r eine belibige Zahl ist. Damit wird [mm] x_{3}=0 [/mm] dann kann ich die entsprechende Elemente aus der Matrix/dem LGS ja streichen. Und dann kriege ich ne Basis in abhänigkeit von [mm] x_{4} [/mm] Ok kann ich nachvollziehen.
Wenn ich das bisher nun alles richtig habe, bleibt für mich nur die Frage wie ich die Lösungsmenge angebe.
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>
> > > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 & | 5 \\
0 & 1 & -3 & 2 & | 4\\
0 & 0 & \alpha-6 & 0 & | \beta-10 }[/mm]
>
>
> > Du solltest folgendes wissen:
> >
> > wenn Du das LGS (A|b) hast, dann gilt:
> >
> > es gibt eine Lösung, wenn rang(A)=rang(A|b),
> > es gibt keine Lösung, wenn rang(A)<rang(a|b).>
> >
> > Sofern das System lösbar ist, gilt:
> > Die Lösung ist eindeutig, wenn der Rang von A so groß
> > ist, wie die Anzahl der Variablen.
> > Ist rang(A) kleiner als die Anzahl der Variablen, so
> gibt
> > es unendlich viele Lösungen. [Anzahl der Variablen -
> > rang(A)] ist die Dimension des affinen Lösungsraumes.
> >
> > Dies liefert Dir einen Leitfaden für die systematische
> > Untersuchung der ZSF:
> Danke, den zusammenhang habe ich volkommen vergessen.
>
> > Fall 1: a=6 und [mm]b\not=6[/mm]
> >
> > Und???
> Meinst du vllt. [mm]b\not=10.[/mm]
Hallo,
ja, natürlich.
> Andernfalls verstehe ich dein
> Ansatz nicht. Ist [mm]b\not=10[/mm] hat das LGS keine Lösung
Genau.
> weil
> eine Ungleichung herauskommt.
Eine Ungleichung kommt nicht heraus, sondern eine Gleichung, die nicht wahr ist.
> >
> > Fall 2.1.
> > > [mm]\alpha=6[/mm] und [mm]\beta=10[/mm] einsetzte kommt eine Nullzeile
> 0=0
> > > raus, also hat das LGS unendlich Lösungen.
> >
> > Ja.
> > Interessant ist nun, wie die Lösungsmenge aussieht,
> > insbes. die Dimension des Kerns.
> Den Rang des Kerns kriege ich ja durch die Gl. von dir
> oben. Durch die Nullzeile hat die Matrix den Rang 2, also
> der Kern den Rang 4-3=2.
Der Kern hat nicht den Rang 2 (was sollte das sein?), sondern die Dimension 2.
Du hast in diesem Fall die führenden Zeilenelemente in der 1. und 2.Spalte, kannst somit die 3. und 4. Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_4:=s
[/mm]
[mm] x_3:=t
[/mm]
bekommst Du
[mm] x_2=...
[/mm]
[mm] x_1=... [/mm] .
Wie sehen also Deine Lösungen aus?
> >
> > Fall 2.2: [mm]a\not=6[/mm]
> >
> > Na???
>
> Für [mm]a\not=6[/mm] hat das LGS wieder unendlich viele Lösungen,
> da eben mehr Varibeln als Gleichungen vorhanden sind.
Ja.
Dimension des affinen Lösungsraumes?
Lösungen bzw. Lösungsraum?
>
> >
> >
> >
> >> b)
> > > Dann erhalte ich:
> > > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 & | 0 \\
0 & 1 & -3 & 2 & | 0\\
0 & 0 & \alpha-6 & 0 & | 0 }[/mm]
>
>
> > > Dann hat man in der 3. Zeile [mm](\alpha-6)x_{3}=0[/mm] stehen.
> > > Ist [mm]\alpha=6[/mm] kommt 0=0 raus, also hat das LGS
> unendlich
> > > viele Lösungen.
> >
> > Dimension des Lösungsraumes? (Auch seine Basis solltest Du
> > angeben können.)
> Sofern mein Vorgehen oben richtig ist, müsste die
> Dimension wieder 2 sein.
Ja.
> Und wenn ich jetzt noch richtig überflogen habe
Lieber lesen als überfliegen,
aber Du bist trotzdem auf dem richtigen Weg.
<rang(a|b).>
> sollte
> das die Basis sein
>
> [mm]\vektor{-9x_{3}+5x_{4} \\
3x_{3}-2x_{4} \\
x_{3} \\
x_{4} }[/mm]
[mm] =x_3*\vektor{-9\\3\\1\\0}+x_4*\vektor\{5\\-2\\0\\1} [/mm] mit [mm] x_3,x_4\in \IR.
[/mm]
Die beiden Vektoren [mm] \vektor{-9\\3\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor\{5\\-2\\0\\1} [/mm] bilden Zusammen eines Basis des Lösungsraumes des homogenen LGS, denn sie sind offenbar linear unabhängig und Du kannst mit ihnen per Linearkombination jede Lösung basteln.
<rang(a|b).>>
> Nur warum brauche ich die?
1.
Z.B., um in Klausuren eine Antwort auf die Standardfrage nach einer Basis des Lösungsraumes zu haben...
2.
Wenn man den Wunsch hat, ein Gleichungssystem zu lösen, will man anschließend die Lösung kennen. Mithilfe der Angabe einer Basis des Lösungsraumes weiß man sofort, wie die Lösungen gemacht sind und hat eine geometrische Vorstellung vom Lösungsraum.
>
> > Nein.
> > Du hast in diesem Fall die führenden Zeilenelemente
> > Deiner ZSF in der 1., 2. und 3. Spalte, kannst also die 4.
> > Variable frei wählen.
> >
> > Mit [mm]x_4:=t[/mm]
> >
> > bekommst Du
> >
> > [mm]x_3=[/mm] ...
> >
> > [mm]x_2=...[/mm]
> >
> > [mm]x_1=...,[/mm]
> >
> > so daß die Lösungsvektoren [mm]\vektor{x_1\\
\vdots\\
x_4}[/mm] die
> > Gestalt haben
> >
> >
> [mm]\vektor{x_1\\
\vdots\\
x_4}=\vektor{...\\
\vdots\\
...}=t*\vektor{...\\
\vdots\\
...}[/mm]
> >
> Ok stimmt
> Für a≠6 kommt in der letzten Zeile ein gleichung der
> Form [mm]r*x_{3}=0,[/mm] wobei r eine belibige Zahl ist. Damit wird
> [mm]x_{3}=0[/mm] dann kann ich die entsprechende Elemente aus der
> Matrix/dem LGS ja streichen. Und dann kriege ich ne Basis
> in abhänigkeit von [mm]x_{4}[/mm] Ok kann ich nachvollziehen.
>
> Wenn ich das bisher nun alles richtig habe, bleibt für
> mich nur die Frage wie ich die Lösungsmenge angebe.
Nehmen wir mal die Lösungen des homogenen Systems für a=6, welche ich oben schon behandelt hatte:
da hatten wir, daß alle [mm] \vec{x} [/mm] mit
[mm] \vec{x}=x_3*\vektor{-9\\3\\1\\0}+x_4*\vektor\{5\\-2\\0\\1} [/mm] , qquad [mm] x_3,x_4\in \IR.
[/mm]
eine Lösung des LGS sind.
Man kann das ruhig so angeben.
Oder man schreibt: [mm] L=<\vektor{-9\\3\\1\\0},\vektor\{5\\-2\\0\\1}>,
[/mm]
die spitzen Klammern stehen für "lineare Hülle".
Oder so:
[mm] L=\{r*\vektor{-9\\3\\1\\0}+s*\vektor\{5\\-2\\0\\1}| r,s\in \IR\}.
[/mm]
Ich würd' mich danach richten, was bei Euch üblich ist.
Schau nochmal nach oben zu dem inhomogenen System mit a=6, b=10.
Die Lösungsmenge dieses Systems wäre [mm] L=\vektor\{-3\\4\\0\\0}+<\vektor{-9\\3\\1\\0},\vektor\{5\\-2\\0\\1}>.
[/mm]
Vorne haben wir eine spezielle Lösung des Systems, zu welchem dann der Lösungsraum des zugehörigen homogenen Systems addiert wird.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Sup |
> > >
> > > Fall 2.1.
> > > > [mm]\alpha=6[/mm] und [mm]\beta=10[/mm] einsetzte kommt eine
> Nullzeile
> > 0=0
> > > > raus, also hat das LGS unendlich Lösungen.
> > >
> > > Ja.
> > > Interessant ist nun, wie die Lösungsmenge aussieht,
> > > insbes. die Dimension des Kerns.
> > Den Rang des Kerns kriege ich ja durch die Gl. von dir
> > oben. Durch die Nullzeile hat die Matrix den Rang 2, also
> > der Kern den Rang 4-3=2.
>
> Der Kern hat nicht den Rang 2 (was sollte das sein?),
> sondern die Dimension 2. Srry war ein Tippfehler, hab auf meinem Zettel brav Dimension stehen gehabt.
>
> Du hast in diesem Fall die führenden Zeilenelemente in der
> 1. und 2.Spalte, kannst somit die 3. und 4. Variable frei
> wählen.
>
> Mit
>
> [mm]x_4:=s[/mm]
> [mm]x_3:=t[/mm]
>
> bekommst Du
>
> [mm]x_2=...[/mm]
> [mm]x_1=...[/mm] .
>
> Wie sehen also Deine Lösungen aus?
Weiß ich, habe ich auch gemacht, nur musste ich den die Übungen heute abgeben. Kann's erstmal nicht aus dem Kopf sagen. Wenn ich zu Hause bin ergänze ich das vllt noch.
>
> > >
> > > Fall 2.2: [mm]a\not=6[/mm]
> > >
> > > Na???
> >
> > Für [mm]a\not=6[/mm] hat das LGS wieder unendlich viele Lösungen,
> > da eben mehr Varibeln als Gleichungen vorhanden sind.
>
> Ja.
> Dimension des affinen Lösungsraumes?
> Lösungen bzw. Lösungsraum?
Hier gilt das Gleiche wie oben
> >
> > >
> > >
> > >
> > >> b)
> > > > Dann erhalte ich:
> > > > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & -1 & | 0 \\
0 & 1 & -3 & 2 & | 0\\
0 & 0 & \alpha-6 & 0 & | 0 }[/mm]
>
> >
> >
> > > > Dann hat man in der 3. Zeile [mm](\alpha-6)x_{3}=0[/mm] stehen.
> > > > Ist [mm]\alpha=6[/mm] kommt 0=0 raus, also hat das LGS
> > unendlich
> > > > viele Lösungen.
> > >
> > > Dimension des Lösungsraumes? (Auch seine Basis solltest Du
> > > angeben können.)
> > Sofern mein Vorgehen oben richtig ist, müsste die
> > Dimension wieder 2 sein.
>
> Ja.
>
> > Und wenn ich jetzt noch richtig überflogen habe
>
> Lieber lesen als überfliegen,
> aber Du bist trotzdem auf dem richtigen Weg.
> <rang(a|b).>
> > sollte
> > das die Basis sein
> >
> > [mm]\vektor{-9x_{3}+5x_{4} \\
3x_{3}-2x_{4} \\
x_{3} \\
x_{4} }[/mm]
>
> [mm]=x_3*\vektor{-9\\3\\1\\0}+x_4*\vektor\{5\\-2\\0\\1}[/mm] mit
> [mm]x_3,x_4\in \IR.[/mm]
>
> Die beiden Vektoren [mm]\vektor{-9\\3\\1\\0}[/mm] und
> [mm]\vektor\{5\\-2\\0\\1}[/mm] bilden Zusammen eines Basis des
> Lösungsraumes des homogenen LGS, denn sie sind offenbar
> linear unabhängig und Du kannst mit ihnen per
> Linearkombination jede Lösung basteln.
>
> <rang(a|b).>>
> > Nur warum brauche ich die?
>
> 1.
> Z.B., um in Klausuren eine Antwort auf die Standardfrage
> nach einer Basis des Lösungsraumes zu haben...
>
> 2.
> Wenn man den Wunsch hat, ein Gleichungssystem zu lösen,
> will man anschließend die Lösung kennen. Mithilfe der
> Angabe einer Basis des Lösungsraumes weiß man sofort, wie
> die Lösungen gemacht sind und hat eine geometrische
> Vorstellung vom Lösungsraum.
>
Alles klar, das wäre es von meiner Seite. Ich bedanke mich recht herzlich für deine Bemühungen
Schönen Tag noch,
sup
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