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| Aufgabe | Zu lösen ist das gegebene Gleichungssystem:
a) mit der Wahl "des ersten Elements ungleich 0 als Pivoteintrag"
b) mit der Wahl "des Elements als Pivot, das den größten Betrag hat".
[mm] $(\varepsilon)x [/mm] + y = 1
x + y = 0$
(und $ [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-n}$ [/mm] )
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anschließend soll die Lösung mit n-Nachkommastellen berechnet werden. |
Mein Problem besteht darin, die Aufgabenstellung richtig zu verstehen :)
a) Sowohl mein Epsilon als auch der Koeffizient "1" vor x und y sind ungleich 0.
Wenn aber von dem "ersten Element" die Rede ist, bedeutet das, dass mein Epsilon gemeint ist, und ich erhalte nach kurzer Umformung:
[mm] (\varepsilon)x [/mm] + y = 1
(1- [mm] \frac{1}{\varepsilon})y [/mm] = - [mm] \frac{1}{\varepsilon}
[/mm]
b) den größten Betrag dürfte das Pivotelement "1" haben, da [mm] 10^{-n} [/mm] ja immer kleiner wird für größer werdende n. [Außer für n = 0, da erhalte ich 1 und hab ein Problem?]
Wähle ich also das Pivotelement 1 erhalte ich durch kurze Umformung folgendes Gleichungssystem:
x + y = 0
[mm] (1-\varepsilon)y [/mm] = 1
____
demzufolge wäre y = [mm] \frac{-\frac{1}{\varepsilon}}{1-\frac{1}{\varepsilon}} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-\varepsilon} [/mm] d.h. der y-Wert ändert sich nicht für die beiden Wege a) und b).
interessant ist also x, denn
a) x = [mm] \frac{1-y}{\varepsilon}
[/mm]
b) x = -y
indem ich in a) das y-Ergebnis einsetze und umforme erhalte ich jedoch:
a) $x = [mm] \frac{1-y}{\varepsilon} [/mm] = [mm] -\frac{1}{1-\varepsilon}$
[/mm]
b) x = -y = - [mm] \frac{1}{1-\varepsilon}
[/mm]
D.h. ich kann meine Ergebnisse schön aufschreiben:
Für n = 1:
y = ... = 1/0.9
x = -y = ..
Für n = 2..
usw.
Mit der Tendenz, dass
x-Werte streng monoton steigen
y-Werte streng monoton fallen
und gegen 1 konvergieren.
Nun, inwiefern liege ich nun richtig?
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Ich hab's nochmal versucht, komme aber zu keinem anderen Ergebnis. Durch das Ergebnis fühlt sich meine Rechnung jedoch an, als hätte ich mich im Kreis gedreht.
Hat noch jemand eine Idee? Das Fälligkeitsdatum kann leider nicht mehr verschoben werden, die Frage ist jedoch noch aktuell - und bleibt es auch ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Kartoffelchen,
ich habe die Fälligkeitszeit für deine Frage mal um 1 Woche nach hinten geschoben, bitte aber um Verständnis, dass ich gerade nicht die Zeit habe, mich in die Aufgabe reinzulesen.
Gruß, Diophant
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Vielen Dank!
Das Verständnis habe ich natürlich (was auch selbstverständlich ist, da du/ihr eure Freizeit hierfür opfert!)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Mo 04.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du dein Ergebnis
y =$ [mm] \frac{-\frac{1}{\varepsilon}}{1-\frac{1}{\varepsilon}} [/mm] $ umformst musst du ja dasselbe erhalten, wie mit der anderen Rechnung!
Aber ein Programm etwa würde direkt das erste Ergebnis benutzen! denn es ist ja ohne Kenntnis von [mm] \epsilon [/mm] geschrieben. und wenn [mm] \epsilon=10 [/mm] wäre würdes du ja auch nicht umrechnen.
also mach deine Rechnungen mal mit n=3 z.B. aber ohne menschliches Eingreifen, einfach das erste nach "Rezept" erhaltene ergebnis benutzen, ebenso dann um x zu berechnen.
Gruss leduart
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Hallo;
musste meinen Beitrag editieren.
Komme nun, indem ich für n mit n-Nachkommastellen rechne, zu dem Ergebnis, dass
$ y [mm] \to [/mm] 1^+ ( n [mm] \to \infty)$
[/mm]
$ [mm] x_a \to [/mm] -1 ( n [mm] \to \infty)$
[/mm]
$ [mm] x_b \to [/mm] -1^- ( n [mm] \to \infty)$
[/mm]
D.h. die Y-Werte nähern sich der eins an, "von oben kommend".
Der x-Wert nach a) bleibt konstant bei -1
Der x-wert nach b) hingegen ist stets kleiner als x-Wert nach a), nähert sich entsprechend der -1 von "links kommend" an.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Di 05.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ob diese GW Betrachtung von euch verlangt wird weiss ich nicht.
Ich würde den Unterschied der 2 Methoden bei einer Stellenzahl >1 z.B 3 oder 10 untersuchen. Welche liefert das bessere ergebnis?
Gruss leduart
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